南京市2016届高三年级第三次模拟考试

数 学 2016.05

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

参考公式

样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ (xi－)2，其中＝ xi．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知全集U＝{－1，2，3，a}，集合M＝{－1，3}．若?UM＝{2，5}，则实数a的值为．

2．设复数z满足z(1＋i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数
的共轭复数为 ▲ ．

3．甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：

选手

第1轮

第2轮

第3轮

第4轮

第5轮



甲

9.8

9.9

10.1

10

10.2



乙

9.4

10.3

10.8

9.7

9.8



则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是．

4．从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是．

5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．

6．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m?β．

给出下列命题：

①α∥β?l⊥m； ②α⊥β?l∥m；

③m∥α?l⊥β； ④l⊥β?m∥α．

其中正确的命题是． (填写所有正确命题的序号)．

7．设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－2，则＝ ▲ ．

8．设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为．

9．如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的周期是．

10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2，则不等式f(x－1)≤2的解集是．

11．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2．若·＝－3，则·＝．

12．在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为．

13．设函数f(x)＝g(x)＝f(x)－b．若存在实数b，使得函数g(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围为．

14．若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．(本小题满分14分)

在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边．若向量m＝(a，cosA)，向量n＝(cosC，c)，且m·n＝3bcosB．

（1）求cosB的值；

（2）若a，b，c成等比数列，求＋的值．

16．(本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱BC上一点．

（1）若AB＝AC，D为棱BC的中点，求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；

（2）若A1B∥平面ADC1，求的值．

17． (本小题满分14分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，

点(2，1)在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．

①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；

②求证： OP⊥OQ．

18．(本小题满分16分)

如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从
地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．

（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；

（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．

19．(本小题满分16分)

设函数f(x)＝－x3＋mx2－m(m＞0)．

（1）当m＝1时，求函数f(x)的单调减区间；

（2）设g(x)＝|f(x)|，求函数g(x)在区间[0，m]上的最大值；

（3）若存在t≤0，使得函数f(x)图象上有且仅有两个不同的点，且函数f(x)的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t)，试求m的取值范围．

20．(本小题满分16分)

已知数列{an}的前n项的和为Sn，记bn＝．

（1）若{an}是首项为a，公差为d的等差数列，其中a，d均为正数．

①当3b1，2b2，b3成等差数列时，求的值；

②求证：存在唯一的正整数n，使得an+1≤bn＜an+2．

（2）设数列{an}是公比为q(q＞2)的等比数列，若存在r，t(r，t∈N*，r＜t)使得＝，求q的值．

南京市2016届高三年级第三次模拟考试

数学附加题 2016.05

注意事项：

1．附加题供选修物理的考生使用．

2．本试卷共40分，考试时间30分钟．

3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A， H是OC的中点，AH⊥BC．

（1）求证：AC是∠PAH的平分线；

（2）求PC的长．

B．选修4—2：矩阵与变换

已知曲线C：x2＋2xy＋2y2＝1，矩阵A＝所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程．

C．选修4—4：坐标系与参数方程

设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．已知椭圆C的参数方程为（θ为参数），点M的极坐标为(1，)．若P是椭圆C上任意一点，试求PM的最大值，并求出此时点P的直角坐标．

D．选修4—5：不等式选讲

求函数f(x)＝5＋的最大值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．

（1）求X是奇数的概率；

（2）求X的概率分布列及数学期望．

23．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，Pn(x，y)，n∈N*．记直线APn的斜率为kn．

（1）若k1＝2，求P1的坐标；

（2）若 k1为偶数，求证：kn为偶数．

南京市2016届高三年级第三次模拟考试

数学参考答案及评分标准

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．5 2．3－i 3．0.02 4． 5．8 6．①④

7．4 8． 9．4 10．[－1，3] 11． 12．3

13．(－1－，2) 14．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．(本小题满分14分)

解：（1）因为m·n＝3bcosB，所以acosC＋ccosA＝3bcosB．

由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝3sinBcosB，···························································3分

所以sin(A＋C)＝3sinBcosB，所以sinB＝3sinBcosB．

因为B是△ABC的内角，所以sinB≠0，所以cosB＝．····················································7分

（2）因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac．

由正弦定理，得sin2B＝sinA·sinC． ···············································································9分

因为cosB＝，B是△ABC的内角，所以sinB＝．······················································11分

又＋＝＋＝

＝＝＝＝＝．·································································14分

16．(本小题满分14分)

证明：（1）因为AB＝AC，点D为BC中点，所以AD⊥BC． ·················································2分

因为ABC－A1B1C1 是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC．

因为AD(平面ABC，所以BB1⊥AD． ···················································4分

因为BC∩BB1＝B，BC(平面BCC1B1，BB1(平面BCC1B1，

所以AD⊥平面BCC1B1．

因为AD(平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B1． ·············································6分

(2)连结A1C，交AC1于O，连结OD，所以O为AC1中点． ·············································8分

因为A1B∥平面ADC1，A1B(平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，

所以A1B∥OD． ··················································12分

因为O为AC1中点，所以D为BC中点，

所以＝1． ··································································14分

17．(本小题满分14分)

解：（1）由题意，得＝，＋＝1，解得a2＝6，b2＝3．

所以椭圆的方程为＋＝1． ··································································2分

（2）①解法一 椭圆C的右焦点F(，0)．

设切线方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，

所以＝，解得k＝±，所以切线方程为y＝±(x－)．······························4分

由方程组解得或

所以点P，Q的坐标分别为(，)，(，)，

所以PQ＝． ·································6分

因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为．

因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－(x－)时，△OPQ的面积也为．

综上所述，△OPQ的面积为． ·································8分

②解法二 椭圆C的右焦点F(，0)．

设切线方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，

所以＝，解得k＝±，所以切线方程为y＝±(x－)．·······························4分

把切线方程 y＝(x－)代入椭圆C的方程，消去y得5x2－8x＋6＝0．

设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝．

由椭圆定义可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－e( x1＋x2)＝2×－×＝．·····················6分

因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为．

因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－(x－)时，所以△OPQ的面积为．

综上所述，△OPQ的面积为． ·································8分

②解法一：(i)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝或x＝－．

当x＝时，P (，)，Q(，－)．

因为·＝0，所以OP⊥OQ．

当x＝－时，同理可得OP⊥OQ． ·································10分

(ii) 若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．

因为直线与圆相切，所以＝，即m2＝2k2＋2．

将直线PQ方程代入椭圆方程，得(1＋2k2) x2＋4kmx＋2m2－6＝0.

设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，x1x2＝．·································12分

因为·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2

＝(1＋k2)×＋km×(－)＋m2．

将m2＝2k2＋2代入上式可得·＝0，所以OP⊥OQ．

综上所述，OP⊥OQ． ·····································14分

解法二：设切点T(x0，y0)，则其切线方程为x0x＋y0y－2＝0，且x＋y＝2．

(i)当y0＝0时，则直线PQ的直线方程为x＝或x＝－．

当x＝时，P (，)，Q(，－)．

因为·＝0，所以OP⊥OQ．

当x＝－时，同理可得OP⊥OQ． ··································10分

(ii) 当y0≠0时，

由方程组消去y得(2x＋y)x2－8x0x＋8－6y＝0．