2016届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试

数学Ⅰ

说明:本试卷共20题，总分160分，考试时间120分钟．请将答案填写在答卷纸上．

一?填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填在答卷纸相应位置上．

1．已知集合M＝{0，2，4}，N＝{x|x＝，a∈M}，则集合M∩N＝ ▲ ．

2．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是 ▲ ．

3．若直线l1：x＋2y－4＝0与l2：mx＋(2－m)y－3＝0平行，则实数m的值为 ▲ ．

4．某学校有A，B两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ．

5．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是 ▲ ．

6．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000)范围内的应抽出 ▲ 人.

7．已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 ▲ ．(填所有真命题的序号)

①若l∥α，l∥β，则α∥β ②若α⊥β，l∥α，则l⊥β

③若l∥α，α∥β，则l∥β ④若l⊥α，l//β，则 α⊥β

8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高

3米后，拱桥内水面的宽度为 ▲ 米．

9．已知正数a，b，c满足3a－b＋2c＝0，则的最大值为 ▲ ．

10．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，b＝3，sinC＝2sinA，则ΔABC的面积为 ▲ ．

11．已知Sn是等差数列{an}的前n项的和，若S2≥4，S4≤16，则a5的最大值是 ▲ ．

12．将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值为 ▲ ．

13．在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60o，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值是 ▲ ．

14．用min{m，n}表示m，n中的最小值．已知函数f(x)＝x3＋ax＋，g(x)＝－lnx，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x＞0)，若h(x)有3个零点，则实数a的取值范围是 ▲ ．

二?解答题:本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明?证明过程或演算步骤．

15．(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(cosθ，sinθ)，B(sinθ，0)，其中θ∈R．

（1）当θ＝时，求向量的坐标；

（2）当θ∈[0，]时，求||的最大值．

16．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点.

（1）求证：DE//平面ACF；

（2）若AB＝CE，在线段EO上是否存在点G，使得CG⊥平面BDE？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.

17．(本小题满分14分)

如图，某水域的两直线型岸边l1，l2 成定角120o，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC（B，C分别在l1和l2上），围出三角形ABC养殖区，且AB和AC都不超过5公里．设AB＝x公里，AC＝y公里．

（1）将y表示成x的函数，并求其定义域；

（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？

18．(本小题满分16分)

已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x＝－2的距离为d1，到点F(－1，0)的距离为d2，且＝．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B(A，B都在x轴上方)，且

∠OFA＋∠OFB＝180o．

（i）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；

（ii）是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

19．(本小题满分16分)

已知函数g(x)＝2alnx＋x2－2x，a∈R．

（1）若函数g(x)在定义域上为单调增函数，求a的取值范围；

（2）设A，B是函数g(x)图象上的不同的两点，P(x0，y0)为线段AB的中点．

（i）当a＝0时，g(x)在点Q(x0，g(x0))处的切线与直线AB是否平行？说明理由；

（ii）当a≠0时，是否存在这样的A，B，使得g(x)在点Q(x0，g(x0))处的切线与直线AB平行？说明理由．

20．(本小题满分16分)

已知数列{an}，{bn}满足：bn＝an＋1－an（n∈N*）．

（1）若a1＝1，bn＝n，求数列{an}的通项公式；

（2）若bn＋1bn－1＝bn（n≥2），且b1＝1，b2＝2．

（i）记cn＝a6n－1（n≥1），求证：数列{cn}为等差数列；

（ii）若数列{}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a1应满

足的条件．

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数学Ⅱ 附加题部分

说明：本试卷共4小题，满分40分，考试时间30分钟．请将答案填写在答卷纸上．

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域

内作答．若多做，则按作答的前两题评分．

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

(本小题满分10分)

如图，△ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP?//?AC，交AB于点E，交圆O在A点处的切线于点P．求证：△PAE∽△BDE．

B．选修4—2：矩阵与变换

(本小题满分10分)

变换T1是逆时针旋转角的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2＝．

（1）点P(2，1)经过变换T1得到点P'，求P'的坐标；

（2）求曲线y＝x2先经过变换T1，再经过变换T2所得曲线的方程.

C．选修4—4：坐标系与参数方程

(本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρ＝1上，求AB的最大值 ．

D．选修4—5：不等式选讲

(本小题满分10分)

已知：a≥2，x∈R．

求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3．

【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．(本小题满分10分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且

d＝λp（λ＞0）．

（1）若y1＝d＝1，求抛物线的标准方程；

（2）若＋λ＝0，求证：直线AB的斜率为定值．

23．（本小题满分10分）

设f(n)＝(a＋b)n（n∈N*，n≥2），若f(n)的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f(n)具有性质P．

（1）求证：f(7)具有性质P；

（2）若存在n≤2016，使f(n)具有性质P，求n的最大值．

2016届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试

数学I答卷纸

题号

一

15

16

17

18

19

20

总分



得分





















注意事项：1. 答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座位号填写清楚；

2. 在草稿纸、试题卷上答题无效．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请将答案

填写在题号后的横线上．

1． 2． 3． 4． 5．

6． 7． 8． 9． 10．

11． 12． 13． 14．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

16．（本小题满分14分）

17．（本小题满分14分）

18．（本小题满分16分）

19．（本小题满分16分）

20．（本小题满分16分）

2016届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试

数学II答卷纸

题号

21(1)

21(2)

22

23

总分



得分















注意事项：1. 答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座位号填写清楚；

2. 在草稿纸、试题卷上答题无效．

解答题：共4小题，共计40分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21 ．（本小题满分10分）

21 ．（本小题满分10分）

22．（本小题满分10分）

23．（本小题满分10分）

2016届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试

数学Ⅰ参考答案与评分建议

一?填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1． {0，2}　 2．(1，)　 3．　 4．　 5．20 　 6．25　

7． ④　 8． 8　 9． 10．3 11．9　 　 12．  　

13．－　 14．(－，－)　

二?解答题:本大题共6小题，共计90分．

15、解：（1）由题意，得＝(sinθ－cosθ，－sinθ)， ……………… 2分

当θ＝时，sinθ－cosθ＝sin－cos＝， …… 4分

－sinθ＝－sin＝－，

所以＝(，－). ……………… 6分

（2）因为 ＝(sinθ－cosθ，－sinθ)，

所以 ||2＝(sinθ－cosθ)2＋(－sinθ)2 ……………… 8分

＝1－sin2θ＋2sin2θ

＝1－sin2θ＋1－cos2θ

＝2－sin(2θ＋). …………10分

因为0≤θ≤，所以≤2θ＋≤. …… 12分

所以当2θ＋＝时，||2取到最大值2－×(－)＝3，

即当θ＝时，||取到最大值. ……………… 14分

16、（1）证明：连接OF由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD的中点

又F为BE的中点，所以OF//DE ……………… 2分

又OF?平面ACF，DE?平面ACF

所以DE//平面ACF ……………… 6分

(2) 解：在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE，证明如下：

取EO的中点G，连接CG，在四棱锥E－ABCD中

AB＝CE，CO＝AB＝CE，所以CG⊥EO ………… 8分

又由EC⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，

所以EC⊥BD ……………… 10分

由四边形ABCD是正方形可知，AC⊥BD

又AC∩EC＝C

所以BD⊥平面ACE ，而BD?平面BDE ……………… 12分

所以，平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE＝EO

因为CG⊥EO，CG?平面ACE，所以CG⊥平面BDE … 14分

17解：(1)由SΔABD＋SΔACD＝SΔABC

得xsin60o＋ysin60o＝xysin120o 　　　　　　　　　　…………… 2分

所以x+y=xy，所以y＝ …………… 4分

又0＜y≤5，0＜x≤5，所以≤x≤5 　

所以定义域为{x|≤x≤5} 　　……………… 6分

(2)设△ABC的面积为S，则结合（1）易得

方法一：S＝xysinA＝x··sin120o＝，(≤x≤5)

＝＝(x－1)＋＋2≥4，…………10分

当仅当x－1＝，x＝2时取等号.

故当x=y=2时，面积S取最小值（平方公里） ……… 12分

方法二：S＝SΔABD＋SΔACD＝xsin60o＋ysin60o＝(x＋)

＝(x＋)＝(x＋＋1)

＝[(x－1)＋＋2]≥ …………10分

当且仅当x－1＝，即x＝2时取等号．

故当x=y=2时，面积S取最小值（平方公里） ………12分

答：该渔民总共至少可以围出平方公里的养殖区． …………14分

18、解：（1）设P(x，y)，则d1＝|x＋2|，d2＝， …………2分

＝＝化简得：＋y2＝1，

∴椭圆C的方程为：＋y2＝1 …………4分

（2）（i）由（1）知A(0，1)，又F(－1，0)，∴kAF＝＝1，

∵∠OFA＋∠OFB＝180o，∴kBF＝－1，

∴直线BF方程为：y＝－1(x＋1)＝－x－1 …………6分

代入＋y2＝1得：3x2＋4x＝0，

解得x＝0或x＝－，

代入y＝－x－1得（舍）或，

∴B(－，).，kAB＝＝

∴直线AB的方程为：y＝x＋1 …………9分

（ii）解法一：由于∠OFA＋∠OFB＝180o，所以kAF＋kBF＝0 ……11分

设直线AB方程为：y＝kx＋b，代入＋y2＝1

得：(k2＋)x2＋2kbx＋b2－1＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)

则x1＋x2＝－，x1x2＝ …………13分

所以，kAF＋kBF＝＋＝＋

＝＝0

所以，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝2kx1x2＋(k＋b)(x1＋x2)＋2b

＝2k×－(k＋b)×＋2b＝0

∴b－2k＝0，

所以直线AB方程为：y＝k(x＋2)

所以直线l总经过定点M(－2，0)