江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测

高 三 数 学 试 卷 2016.3

数学Ⅰ

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）

1．已知集合
，
，则
__________．

2．复数
（
是虚数单位）在复平面内所对应点的在第__________象限．

3．执行如图所示的程序框图，则输出的
值为__________．

第3题图 第4题图

4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有________辆．

5．已知等差数列
的公差
，且
．若
＝0 ，则n＝　　　.

6．“
”是“函数
在
上单调递增”的_______________条件．（空格处请填写“充分不必要条件” 、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）

7．在区间
上随机取一个数x，
的值介于
的概率为 ．

8. 已知正六棱锥底面边长为
，侧棱长为
，则此六棱锥体积为

9．函数
在
上
恒成立，则
的取值范围是　 　．

10．已知
是椭圆
：
与双曲线
的一个公共焦点，A，B分别是
，
在第二、四象限的公共点．若
，则
的离心率是 ．

11.平行四边形
中，
为平行四边形内一点，且
，若
，则
的最大值为 ．

12. 已知
，若存在
，满足
,则称
是

的 一个“友好”三角形.若等腰
存在“友好”三角形，则其底角的弧度数为 　．

13.已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
（
）．若
，则实数
的取值范围是 ．

14. 若函数

在
上存在零点，且
，则
的取值范围是 .

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.如图，已知直三棱柱
中，
，
分别是棱
，
中点．

（1）求证：
⊥平面
；

（2）求证：
∥平面
；

16.设
的内角
的对边分别为
，且
为钝角.

（1）证明：
； （2）求
的取值范围.

17.某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30 km(忽略内、外环线长度差异)．

(1) 当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 min，求内环线列车的最小平均速度；

(2) 新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 km/h，外环线列车平均速度为30 km/h.现内、外环线共有18列列车全部投入运行，问：要使内、外环线乘客的最长候车时间之差最短，则内、外环线应各投入几列列车运行？

18. 如图，曲线
由两个椭圆
：
和椭圆
：
组成，当
成等比数列时，称曲线
为“猫眼曲线”.若猫眼曲线
过点
，且
的公比为
.

(1)求猫眼曲线
的方程；

（2）任作斜率为
且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆
所得弦的中点为
，交椭圆
所得弦的中点为
，求证：
为与
无关的定值；

（3） 若斜率为
的直线
为椭圆
的切线，且交椭圆
于点
，
为椭圆
上的任意一点（点
与点
不重合），求
面积的最大值.

19.已知两个无穷数列
分别满足
，
，

其中
，设数列
的前
项和分别为
，

（1）若数列
都为递增数列，求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足：存在唯一的正整数
（
），使得
，称数列
为“
坠点数列”

①若数列
为“5坠点数列”，求
；

②若数列
为“
坠点数列”，数列
为“
坠点数列”，是否存在正整数
，使得
，若存在，求
的最大值；若不存在，说明理由.

20.已知函数
（
为自然对数的底数).

若
，求函数
的单调区间；

若
，且方程
在
内有解，求实数
的取值范围.

数学Ⅱ

1.已知矩阵
，求矩阵

2.直角坐标系
内，直线
的参数方程
为参数），以
为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为
,确定直线
和圆C的位置关系.

3.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量
(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．

（1）求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量
限制，并有如下关系；

年入流量









发电机最多可运行台数

1

2

3



若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

4.设数列
（
）为正实数数列，且满足
.

（1）若
，写出
；

（2）判断
是否为等比数列？若是，请证明；若不是，请说明理由.

高三数学质量检测参考答案 2016.3

1.
2.二 3. 4 4.1700 5.5 6. 充分不必要条件7.

8.12 9.（﹣
，+∞）10.
11.
12
13.
14.

15.解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱
中，

底面
，

又因为
平面
，所以
. ………2分

因为
，
是
中点，

所以
. ………4分

因为
， ………5分

所以
平面
. ………7分

（Ⅱ）证明：取
的中点
，连结
，
，因为
，
分别是棱

，
中点，所以
∥
，
. ………8分

又因为
∥
，
，

所以
∥
，
＝
.所以四边形
是平行四边形．

所以
∥
. ………10分

因为
平面
，
平面
， ………12分

所以
∥平面
. ………14分

16．解析：（1）由
及正弦定理，得
，∴
，

即
，............... 4分

又
为钝角，因此
，(不写范围的扣1分)

故
，即
；............ 6分

（2）由（1）知，

，∴
，................ 8分

于是

，............10分

∵
，∴
，因此
，由此可知
的取值范围是
．............................14分

17.解：(1) 设内环线列车运行的平均速度为v km/h，由题意可知×60≤10�輛≥20.所以，要使内环线乘客最长候车时间为10 min，列车的最小平均速度是20 km/h.

(2) 设内环线投入x列列车运行，则外环线投入(18－x)列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1、t2 min，则t1＝×60＝，t2＝×60＝.于是有t=|t1－t2|＝=
在（0,9）递减，在（10，17）递增.又
，所以x＝10，所以当内环线投入10列，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差最短.

18.
，
， （2分）

，
； （4分）

（2）设斜率为
的直线交椭圆
于点
，线段
中点

由
，得
（6分）

存在且
，
，且

，即
（8分）

同理，

得证 （10分）

（3）设直线
的方程为

，

，

（12分）

，

，

两平行线间距离：
（14分）

的面积最大值为
（16分）

19.（1）数列
都为递增数列，∴
，
，

∴
，…………………………………………………………………………2分

；………………………………………………………………………4分

（2）①∵数列
满足：存在唯一的正整数
，使得
，且
，

∴数列
必为
，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，……………………………………5分

故
；………………………………………………………7分

② ∵
，即
，

而数列
为“
坠点数列”且
，∴数列
中有且只有两个负项．

假设存在正整数
，使得
，显然
，且
为奇数，而
中各项均为奇数，∴
必为偶数．…………………………………………9分

i.当
时，

当
时，
，故不存在
，使得
成立

ii.当
时，

显然不存在
，使得
成立

iii．当
时，

当
时，才存在
，使得
成立

所以

当
时，
，构造：
为
，
为