江苏省扬州中学高三模拟考试

数学试题 2016.5.20

一、填空题：(共14题，总分70分)

1．已知集合
，
，则
等于 ▲ ．

2．已知虚数
满足
，则
▲ ．

3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图．根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品．则样本中三等品的件数为 ▲ ．

4.在平面直角坐标系xOy中，“双曲线
的标准方程为
”是“双曲线
的渐近线方程为
”成立的 ▲ 条件．(填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“非充分非必要”中的一种)

5. 下图是一个算法流程图，则输出的
的值是 ▲ 。

6．如果实数
满足线性约束条件
，则
的最小值等于 ▲ ．

7. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是 ▲ ．

8． 设
，
，
为三条不同的直线，给出如下两个命题：

①若
，
，则
；②若
，
，则
．

试类比以上某个命题，写出一个正确的命题：设
，
，
为三个不同的平面， ▲ ．

9..若数列
满足
（
为常数），则称数列
为等比和数列，k称为公比和．已知数列
是以3为公比和的等比和数列，其中
，则
　▲　 ．

10．函数
的所有零点之和为 ▲ ．

11．已知
，
，则
的值为 ▲ ．

12．如果将直线
：
向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得直线
与圆
：
相切，则实数
的值构成的集合为 ▲ ．

13．已知点
为△
的重心，且
，
，则
的值为 ▲ ．

14．若幂函数
(a
)及其导函数
在区间(0，
)上的单调性一致(同为增函数或同为减函数)，则实数a的取值范围是 ▲ ．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝，A＋3C＝π.

(1) 求cosC的值；

(2) 求sinB的值；

(3) 若b＝3，求△ABC的面积．

16. (本小题满分14分)

如图，四边形AA1C1C为矩形，四边形CC1B1B为菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D、E分别为A1B1、C1C的中点．求证：

(1) BC1⊥平面AB1C；

(2) DE∥平面AB1C.

17.(本小题满分14分)

如图，某水域的两直线型岸边l1，l2 成定角120o，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC（B，C分别在l1和l2上），围出三角形ABC养殖区，且AB和AC都不超过5公里．设AB＝x公里，AC＝y公里．

（1）将y表示成x的函数，并求其定义域；

（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？

18．（本题满分16分）

定义：如果一个菱形的四个顶点均在一个椭圆上，那么该菱形叫做这个椭圆的内接菱形，且该菱形的对角线的交点为这个椭圆的中心．

如图，在平面直角坐标系
中，设椭圆
的所有内接菱形构成的集合为
．

（1）求
中菱形的最小的面积；

（2）是否存在定圆与
中的菱形都相切?若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由；

（3）当菱形的一边经过椭圆的右焦点时，求这条边所在的直线的方程．

19．（本题满分16分）

设函数
，
的定义域均为
，且
是奇函数，
是偶函数，

其中
为自然对数的底数.

（1）求
，
的表达式；

（2）设
，
，
，证明：
.

20. 己知数列
是公差不为零的等差数列，数列
是等比数列．

（1）若
（n∈N*），求证：
为等比数列；

（2）设
（n∈N*），其中
是公差为2的整数项数列，
，若

，且当
时，
是递减数列，求数列
的通项公式；

（3）若数列
使得
是等比数列，数列
的前
项和为
，且数列
满足：对任意
，
N*,或者
恒成立或者存在正常数
，使
恒成立，求证：数列
为等差数列．

附加题

1. （本小题满分10分）已知矩阵

（1）求
；

（2）满足AX=
二阶矩阵X

2. （本小题满分10分）在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
为参数），且曲线
上的点
对应的参数
，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线
的普通方程；

（2）若
是曲线
上的两点，求
的值．

3、（本小题满分10分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．

(1) 如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求X的概率分布列及数学期望E(X)；

(2) 若10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．

4．（本小题满分10分）

设
为虚数单位，
为正整数．

（1）证明：
；

（2）结合等式“
”证明：

．

江苏省扬州中学高三数学五月质量检测参考答案

一、填空题：(共14题，总分70分)

1．已知集合
，
，则
等于 ▲ ．

1．

2．已知虚数
满足
，则
▲ ．

3． 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图．根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品．则样本中三等品的件数为 ▲ ．

3. 【答案】100

4.在平面直角坐标系xOy中，“双曲线
的标准方程为
”是“双曲线
的渐近线方程为
”成立的 ▲ 条件．(填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“非充分非必要”中的一种)

4.【答案】充分非必要

5. 下图是一个算法流程图，则输出的
的值是

5.59

6．如果实数
满足线性约束条件
，则
的最小值等于 ．

6.

7. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是 ．

7.

8． 设
，
，
为三条不同的直线，给出如下两个命题：

①若
，
，则
；②若
，
，则
．

试类比以上某个命题，写出一个正确的命题：设
，
，
为三个不同的平面， ▲ ．

8.若
，
，则

9..若数列
满足
（
为常数），则称数列
为等比和数列，k称为公比和．已知数列
是以3为公比和的等比和数列，其中
，则
．

9.

10．函数
的所有零点之和为 ．

10.答案：8 方程即
，令
，