南通、扬州、泰州三市2016届高三第二次调研测试

数学（I）

参考公式：锥体的体积
，其中
为锥体的底面积，
为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

设复数
满足
(
为虚数单位)，则复数
的实部为 ▲ ．

设集合
，
，
，则实数
的值为 ▲ ．

下图是一个算法流程图，则输出的
的值是 ▲ ．

为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如下表：

使用寿命













只数

5

23

44

25

3



根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是 ▲ ．

电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是 ▲ ．

已知函数
（
）的图像如图所示，则
的值是 ▲ ．

设函数
（
），当且仅当
时，
取得最大值，则正数
的值为 ▲ ．

在等比数列
中，
，公比
．若
成等差数列，则
的值是 ▲ ．

在体积为
的四面体
中，
平面
，
，
，
，则
长度的所有值为 ▲ ．

在平面直角坐标系
中，过点
的直线与圆
相切于点
，与圆
相交于点
，且
，则正数
的值为 ▲ ．

已知
是定义在
上的偶函数，且对于任意的
，满足
，若当
时，
，则函数
在区间
上的零点个数为 ▲ ．

设实数
满足
，则
的最小值是 ▲ ．

若存在
，使得
，则实数
的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．

在斜三角形
中，
．（1）求
的值；（2）若
，
，求
的周长．

如图，在正方体
中，
分别为棱
的中点．求证：（1）
平面
； （2）平面
平面
．


植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案① 多边形为直角三角形
（
），如图1所示，其中
；方案② 多边形为等腰梯形
（
），如图2所示，其中
．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．

如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
（
）的离心率为
．
为椭圆上异于顶点的一点，点
满足
．（1）若点
的坐标为
，求椭圆的方程；（2）设过点
的一条直线交椭圆于
两点，且
，直线
的斜率之积为
，求实数
的值．

设函数
，
，其中
是实数．（1）若
，解不等式
；（2）若
，求关于
的方程
实根的个数．

设数列
的各项均为正数，
的前
项和
，
．（1）求证：数列
为等差数列；（2）等比数列
的各项均为正数，
，
，且存在整数
，使得
．（i）求数列
公比
的最小值（用
表示）；（ii）当
时，
，求数列
的通项公式．

数学（II）（附加题）

21（B）．在平面直角坐标系
中，设点
在矩阵
对应的变换作用下得到点
，将点
绕点
逆时针旋转
得到点
，求点
的坐标．

21（C）．在平面直角坐标系
中，已知直线
（
为参数）与曲线
（
为参数）相交于
两点，求线段
的长．

22．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，
倍的奖励（
），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为
元．（1）求概率
的值；（2）为使收益
的数学期望不小于0元，求
的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）

23．设
（
），其中
（
）．当
除以4的余数是
（
）时，数列
的个数记为
．（1）当
时，求
的值；（2）求
关于
的表达式，并化简．

参考答案

填空题：（本大题共14题，每小题5分，共计70分．

1.
2．1 3. 17 4. 1400 5.
6.
7. 2 8.
9.
10. 4 11. 7 12.
13.
14.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．

15.（本小题满分14分）

解：（1）因为
，即
，

因为在斜三角形
中，
，

因为
，所以
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）在
中，
，则
，

由正弦定理
，得

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

故
，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

．

所以
的周长为
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

16．（本小题满分14分）

证明：（1）在正方体
中，因为
分别为棱
的中点，

所以
．

又
，故
，

所以四边形
为平行四边形．

从而
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

又
平面
平面
，

所以
平面
；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）

连结
，在正方形
中，
．又
分别为棱
的中点，故
．所以
．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

在正方体
中，
平面
，

又
平面
，

所以
．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

而
平面
，

所以
平面
．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

又
平面
，

所以平面
平面
．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

17．（本小题满分14分）

解：设方案①，②中多边形苗圃的面积分别为
．

方案①设
，则
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（当且仅当
时，“=”成立）．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

方案②设
，则
．　．．．．．．．．．．．．．．．．8分

由
得，
（
舍去）．．．．．．．．．．10分

因为
，所以
，列表：











+

0

-







极大值





所以当
时，
．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

因为
，所以建苗圃时用方案②，且
．

答：方案①，②苗圃的最大面积分别为
，建苗圃时用方案②，且
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

18．（本小题满分16分）

解：（1）因为
，而
，

所以
．

代入椭圆方程，得
，① ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

又椭圆的离心率为
，所以
，② ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

由①②，得
，

故椭圆的方程为
．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）设
，

因为
，所以
．

因为
，所以
，

即

于是
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

代入椭圆方程，得
，

即
，③．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

因为
在椭圆上，所以
． ④

因为直线
的斜率之积为
，即
，结合②知
．　　⑤

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1