江苏省苏锡常镇四市2016届高三年级第二次模拟考试(一)

数学

本试卷满分160分，考试时间为120分钟．

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1. 已知集合A＝{x|x<3，x∈R}，B＝{x|x>1，x∈R}，则A∩B＝________．

2. 已知i为虚数单位，复数z满足＋4＝3i，则复数z的模为________．

3. 一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，则n的值为________．　

4. 在平面直角坐标系xOy中，已知方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为________．

5. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是________．

6. 执行如图所示的程序框图，输出的x值为________．

(第6题图)

　　　　
(第7题图)

7. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是棱BB1的中点，则四棱锥PAA1C1CZxxkCom的体积为________．

8. 设数列{an}是首项为1，公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，Sn成等比数列，则数列{an}的公差为________．

9. 在平面直角坐标系xOy中，设M是函数f(x)＝(x>0)的图象上任意一点，过M点向直线y＝x和y轴作垂线，垂足分别是A，B，则·＝________．

10. 若一个钝角三角形的三内角等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是________．

11. 在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，若点A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为________．

12. 已知函数f(x)＝若存在x1，x2∈R，当0≤x1<4≤x2≤6时，f(x1)＝f(x2)，则x1f(x2)的取值范围是________．

13. 已知函数f(x)＝2x－1＋a，g(x)＝bf(1－x)，其中a，b∈R，若关于x的不等式f(x)≥g(x)的解的最小值为2，则a的取值范围是________．

14. 若实数x，y满足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，则当x＋2y取得最大值时，的值为________．　

二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

已知函数f(x)＝sin－sin.

(1) 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2) 当x∈时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x的值．

16. (本小题满分14分)

如图，已知四棱柱PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是AD的中点，N是PC的中点．

(1) 求证：MN∥平面PAB；

(2) 若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM⊥AD.

(第16题图)

17. (本小题满分14分)

如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA>OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)；在△AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k.设OA＝x，OB＝y.

(1) 求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

(2) 求N－M的最大值及相应的x的值．

(第17题图)

18. (本小题满分16分)

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P，离心率为.

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 设直线l与椭圆C交于A，B两点．

①若直线l过椭圆C的右焦点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值；

②若直线l的斜率为，试探究OA2＋OB2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．

19. (本小题满分16分)

设函数f(x)＝x－2ex－k(x－2lnx)(k为实常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．

(1) 当k＝1时，求函数f(x)的最小值；

(2) 若函数f(x)在区间(0，4)内至在三个极值点，求k的取值范围．

20. (本小题满分16分)

已知首项为1的正项数列{an}满足a＋a<an＋1an，n∈N*.

(1) 若a2＝，a3＝x，a4＝4，求x的取值范围；

(2) 设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．若Sn

(3) 若a1，a2，…，ak(k≥3)成等差数列，且a1＋a2＋…＋ak＝120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，…，ak的公差．

密封线



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密封线







____________　号学　　____________　名姓　　____________　级班　　____________　校学



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2016届高三年级第二次模拟考试(一)·数学附加题　第页(共2页)



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2016届高三年级第二次模拟考试(一)

数学附加题

21. 【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A. 选修4-1：几何证明选讲

如图，直线AB与⊙O相切于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C，且AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直径．

(第21A题图)

B. 选修4-2：矩阵与变换

设M＝，N＝，试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下得到的曲线方程．

C. 选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.设P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的直角坐标．

D. 选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)＝，g(x)＝，若存在实数x使f(x)＋g(x)>a成立，求实数a的取值范围．

【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22. (本小题满分10分)

如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F＝2FE.

(1) 证明：平面DFC⊥平面D1EC；

(2) 求二面角ADFC的大小．

(第22题图)

23. (本小题满分10分)

在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如右图所示．

(1) 在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；

(2) 已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数C，C，C，C不能构成等差数列．

(第22题图)

密封线



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苏锡常镇四市2016届高三年级第二次模拟考试(一)·数学参考答案　第页(共4页)



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2016届高三年级第二次模拟考试(一)(苏锡常镇四市)

数学参考答案

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1. (1，3)　2. 5　3. 320　4. (－2，4)　5. 　6. 6

7. 　8. 2　9. －2　10. (2，＋∞)　11. 　12. 　13. (－∞，－2]∪　14. 2

二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 解：(1) 由题意知，f(x)＝sin＋cos(2x＋)＝2sin，(4分)

所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.(6分)

当－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)时，f(x)单调递增，

解得x∈(k∈Z)，

所以f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，－＋kπ](k∈Z)．(8分)

(2) 因为x∈，所以≤2x＋≤，(10分)

当2x＋＝，即x＝－时，f(x)取得最大值2，(12分)

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－.(14分)

16. 证明：(1) 取PB中点E，连EA，EN，△PBC中，EN∥BC且EN＝BC，又AM＝AD，AD∥BC，AD＝BC，(3分)

得EN∥AM，EN＝AM，四边形ENMA是平行四边形，(5分)

得MN∥AE，MN?平面PAB，AE?平面PAB，

∴ MN∥平面PAB(7分)

(2) 过点A作PM的垂线，垂足为H，

∵ 平面PMC⊥平面PAD，平面PMC∩平面PAD＝PM，AH⊥PM，AH?平面PAD，

∴ AH⊥平面PMC，

∴ AH⊥CM.(10分)

∵ PA⊥平面ABCD，CM?平面ABCD，∴ PA⊥CM.(12分)

∵ PA∩AH＝A，PA，AH?平面PAD，CM⊥平面PAD，

∵ AD?平面PAD，∴ CM⊥AD.(14分)

17. 解：(1) 因为OA＝x，OB＝x，AB＝y＋1，

由余弦定理，x2＋y2－2xycos120°＝(y＋1)2，

解得y＝，(3分)

由x>0，y>0得1y，得x>，解得1

所以OA的取值范围是.(7分)

(2) M＝kOB＝ky，N＝4.S△AOC＝3kx，

则N－M＝k(3x－y)＝k，(8分)

设2－x＝t∈，

则N－M＝k

＝k

≤k＝(10－4)k.(11分)

当且仅当4t＝即t＝∈取等号，此时x＝2－，(13分)

所以当x＝2－时，N－M的最大值是(10－4)k.(14分)

18. 解：(1) ＋＝1，＝，得a2＝4，b2＝3.(2分)

所以椭圆C：＋＝1.(3分)

(2) ①设直线l的方程为x＝my＋1，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由化简得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，易知Δ>0，(5分)

所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，

所以kAP·kBP＝·

＝·

＝·

＝－－，(7分)

所以t＝kAB·kAP·kBP＝－－＝－＋，(9分)

所以当m＝－时，t有最大值.(10分)

②设直线l的方程为y＝x＋n，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

得3x2＋2nx＋2n2－6＝0，

Δ＝(2n)2－4×3(2n2－6)>0，

即－

x1＋x2＝－，x1x2＝，(12分)

OA2＋OB2＝x＋y＋x＋y＝(x＋x)＋(y＋y)

＝x＋x＋＋＝(x＋x)＋n(x1＋x2)＋2n2

＝(x1＋x2)2－x1x2＋n(x1＋x2)＋2n2(14分)

＝－＋n(－n)＋2n2＝7.(16分)

19. 解：(1) 由函数f(x)＝－(x－2lnx)(x>0)，

可得f′(x)＝(2分)

因为当x>0时，ex>x2.理由如下：

要使x>0时，ex>x2，只要x>2lnx，

设φ(x)＝x－2lnx，φ′(x)＝1－＝，

于是当0

当x>2时，φ′(x)>0.

即φ(x)＝x－2lnx在x＝2处取得最小值φ(2)＝2－2ln2>0，即x>0时，x>2lnx，

所以ex－x2>0，(5分)

于是当0

当x>2时，f′(x)>0.

所以函数f(x)在(0，2)上为减函数，(2，＋∞)上为增函数．(6分)

所以f(x)在x＝2处取得最小值f(2)＝－2＋2ln2.(7分)

(2) 因为f′(x)＝＝，

当k≤0时，－k>0，所以f(x)在(0，2)上单调递减，(2，4)上单调递增，不存在三个极值点，所以k>0.(8分)

又f′(x)＝＝，

令g(x)＝，得g′(x)＝，

易知g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，在x＝2处取得极小值，

得g(2)＝，且g(4)＝，(10分)

于是可得y＝k与g(x)＝在(0，4)内有两个不同的交点的条件是k∈.(12分)

设y＝k与g(x)＝在(0，4)内有两个不同交点的横坐标分别为x1，x2，则有0

x

(0，x1)

x1

(x1，2)

2

(2，x2)

x2

(x2，4)

4



x－2

－

－

－

0

＋

＋

＋

2



－k

＋

0

－

－k

－

0

＋

－k



f′(x)

－

0

＋

0

－

0

＋

＋



f(x)

递减

极小值

递增

极大值

递减

极小值

递增







可知f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，2)上单调递增．

在(2，x2)上单调递减，在(x2，4)上单调递增，

所以f(x)在区间(0，4)上存在三个极值点．(15分)

即函数f(x)在(0，4)内存在三个极值点的k的取值范围是.(16分)

20. 解：(1) 由题意得，an

所以

(2) 由题意得，∵ an

∴ qn－1

∴ q∈.(6分)

又∵ Sn

当q≠1时，·<<2·，

∴ ①当q∈时，



解得q∈