通州区2016届高三查漏补缺专项检测

数学试题

参考公式：

样本数据
的方差
，标准差
，其中
．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应

位置上．

1． 设集合
，则
▲ ．

2． 若复数z满足
，则z的共轭复数是 ▲ ．

3． 已知一组数据3,5,4,7,6，那么这组数据的标准差为 ▲ ．

4． 右图是一个算法流程图，则输出的
的值是 ▲ ．

5． 袋中有形状、大小都相同的5只球，其中有2只红球，3只白球，

若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ．

6． 底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为 ▲ ．

7． 已知圆
与抛物线
（
）的准线交于A、B

两点，且
，则
的值为 ▲ ．

8． 已知函数
（
），如果存在实数
，使得对任意的实数
，都有

成立，则
的最小值为 ▲ ．

9． 在正项等比数列
中，若
成等差数列，则
▲ ．

10．若点
在直线
上，则
的值等于 ▲ ．

11．已知函数
(
)，若函数
有三个零点，则实数k的

取值范围是 ▲ ．

12．已知直角△
的面积为1，
为直角顶点．设向量
，
，
，则
的最大值为 ▲ ．

13．已知实数
满足
，则
的最小值为 ▲ ．

14．已知函数
， 若函数
存在极值，且所有极值之和小于
，

则实数
的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤．

15．(本小题满分14分)

在△
中，内角
的对边分别为
，
，
，向量
，

，且
．

（1）求角
；

（2）若
，求△
的面积的最大值．

16．(本小题满分14分)

在三棱锥P－ABC中，D为AB的中点．

（1）若与BC平行的平面PDE交AC于点E，求证：点
为
的中点；

（2）若PA＝PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC．

17．(本小题满分14分)

如图，景点
在景点
的正北方向2千米处，景点
在景点
的正东方向
千米处.

（1）游客甲沿
从景点
出发行至与景点
相距
千米的点
处, 记
，

求
的值；

（2）游客甲沿
从景点
出发前往目的地景点
，游客乙沿
从景点
出发前往目的地景点
，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时. 若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为
千米，问有多长时间两人不能通话？

（精确到
小时，参考数据：
）

18．(本小题满分16分)

已知椭圆
：
的上顶点M与左、右焦点
构成三角形
面积为
，又椭圆C的离心率为
.

（1）求椭圆C的方程；

（2）椭圆C的下顶点为N，过点
的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点. 若△
的面积是△
的面积的k倍，求k的最大值.

19．(本小题满分16分)

已知函数
（
）.

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）若函数
既有一个极小值和又有一个极大值，求
的取值范围；

（3）若存在
，使得当
时，
的值域是
，求
的取值范围.

注：自然对数的底数
.

20．(本小题满分16分)

数列
的前
项和记为
，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得
，

则称
是“G数列”．

（1）若数列
的通项公式
，判断
是否为“G数列”；

（2）等差数列
，公差
，
，求证：
是“G数列”；

（3）设
与
满足
，其中
，
．

若
是“G数列”，求
满足的条件．

通州区2016届高三查漏补缺专项检测

数学附加题

21．本题包括高考A，B，C，D四个选题中的B，C 两个小题，每小题10分，共20分．

把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

B．选修4—2：矩阵与变换

求曲线
在矩阵
对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.

C．选修4—4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
为参数），且

曲线
上的点
对应的参数
，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立

极坐标系．

（1）求曲线
的普通方程；

（2）若
是曲线
上的两点，求
的值．

22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛.

（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X的数学期望；

（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场，那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案?

23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知抛物线C的方程为
，点
在抛物线C上．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点Q（1,1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B．若直线AR,BR分别交

直线
于M,N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．

2016届高三查漏补缺专项检测

数学参考答案及评分标准

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．
2．
3．
4．6 5．
6．
7．4

8．
9．
10．
10．
12．1 13．
14．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．

15．解：（1）因为
，所以
，

所以
，即
， ………………………………4分

所以
，

又
，所以
． ………………………………7分

（2）在
中，由余弦定理有，
，

所以
，

由基本不等式，
，可得
，当且仅当
时，取等，…12分

所以
的面积
，

故
的面积的最大值为
． ………………………………14分

16．（1）解：平面PDE交AC于点E，即平面PDE∩平面ABC＝DE，

而BC∥平面PDE，BC?平面ABC，所以BC∥DE. ……………………………3分

在△ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC中点．…………………………6分

（2）证明:　因为PA＝PB，D为AB的中点，所以AB⊥PD，……………………8分

因为平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC＝CD，

在锐角△PCD所在平面内作PO⊥CD于点O，则PO⊥平面ABC. ………………11分

因为AB?平面ABC，所以PO⊥AB，

又PO∩PD＝P，PO，PD?平面PCD，则AB⊥平面PCD，

又PC?平面PCD，所以AB⊥PC. ……………………14分

17．解:（1）在
中，
，∴

在
中，由余弦定理得
，

即

化简，得
，解得
或
（舍去）

在
中，由正弦定理得
，即
，

∴
……………………6分

（2）
中，

设甲出发后的时间为
小时，则由题意可知
，设甲在线段
上的位置为点
，

①当
时，设乙在线段
上的位置为点
，则

在
中，由余弦定理得，

令
即
，得
，解得
或

∴
　　 ……………………9分

②当
时，乙在景点
处

在
中，由余弦定理得，

令
即
，得
，解得
或
，不合题意 ……………………12分

综上，当
时，甲、乙间的距离大于3米.　

又
，故两人不能通话的时间大约为0.6小时. ……………………14分

18．解：（1）椭圆离心率
，

又
，
，

解得
， 所以椭圆方程：
……………………4分

（2）因为

=
，

直线
方程为：
，联立
，得
，

所以
. …………………………………………………………………6分

直线
方程为：
，联立
，得
,

所以
. ………………………………………………………8分

因为
到直线

的距离

，

，

所以
,

所以
=
， ……………………………………12分

令
则
=
,

当且仅当
,即
等号成立，

所以
的最大值为
.……………………………………………………………16分

19. 解：（1）
的定义域为

当
时，


；

所以，函数
的增区间为
，减区间为
………………………………3分

（2）