长沙市一中2016届高三月考试卷（八）

数学（理科）

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1.命题“
”的否定是（ ）

A．
B．
C．
D．

2.在复平面内，复数
（
为虚数单位），对应的点在第四象限的充要条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

3.已知
是等差数列，
，其前10项和
，则其公差
为（ ）

A．
B．
C．
D．

4.设函数
，将
的图象向左平移
个单位长度后，所得图象与原函数的图象重合，则
的最小值是（ ）

A．
B．3 C．6 D．9

5.设非负实数
满足：
，
是目标函数
取最大值的最优解，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

6.已知点
是椭圆
上非顶点的动点，
分别为椭圆的左、右焦点，
是坐标原点，若
是
的平分线上一点，且
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.在闭区间
上随机取出一个数
，执行右图程序框图，则输出
不小于39的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

A．4 B．
C．
D．8

10.已知函数
，若存在实数
，满足
，其中
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

11.
中，
分别为
的重心和外心，且
，则
的形状是（ ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述均不是

12.用
表示自然数
的所有因数中最大的那个奇数，例：9的因数有1，3，9，
，10的因数有1，2，5，10，
，那么
_________．

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）

13.在某项测量中，测量结果
，若
在
内取值的概率为0.8，则
在
内取值的概率为________．

14.已知
的展开式中
的系数为2，则实数
的值为________．

15.曲线
与直线
及
轴所围成的图形的面积是________．

16.设函数
（
，
为自然对数底数），定义在
上函数
满足：
，且当
时，
，若存在
．使
，则实数
的取值范围为________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知
，且
．

（1）将
表示为
的函数
，并求
的单调增区间．

（2）已知
分别为
的三个内角
对应边的边长，若
且
，求
的面积．

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
平面
，垂中为
，
在
上，且
，
是
的中点．

（1）求异面直线
与
所成角的余弦值；

（2）若
点是棱
上一点，且
，求
的值．

19.（本小题满分12分）

为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选 手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率为
；现记“该选手在回答完
个问题后的总得分为
”．　

（1）求
且
的概率；

（2）记
，求
的分布列，并计算数学期望
．

20.（本小题满分12分）

已知曲线
，
，动直线
与
相交于
两点，曲线
在
处的切线相交于点
．

（1）当
时，求证：直线
恒过定点，并求出定点坐标；

（2）若直线
与
相切于点
，试问：在
轴上是否存在两个定点
，当直线
斜率存在时，两直线的斜率之积恒为定值？若存在求出满足条件的点
的坐标，若不存在，请说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）若
在
上为增函数，求实数
的取值范围；

（2）当
时，设
的两个极值点
恰为
的零点，求
的最小值．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）

在
中，
，过点
的直线与其外接圆交于点
，交
延长线于点
．

（1）求证：
；

（2）若
，求
的值．

23.已知曲线
的参数方程为
，曲线
的极坐标方程为
．以极点为坐标原点，极轴为
轴正半轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线
的直角坐标方程；

（2）求曲线
上的动点
到曲线
的距离的最大值．

24.（本小题满分10分）

已知定义在
上的函数
，存在实数
使
成立．

（1）求实数
的值；

（2）若
，
，求证：
．

参考答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

A

C

C

B

A

B

B

B

B

B



6．B 【解析】延长
交
或其延长线于点
，

∵
，∴

又
为
的平分线，∴
且
为
的中点，∵
为
的中点，

∴
，且
．

∵
，∴
．

∴
或
，∴
．

8．B 【解析】共有
种方案．

10．B 【解析】如下图，由
，得
．

11．B 【解析】
，

而
，∴
．

，故
为钝角．

12．B 【解析】由递推关系
，

设
，

则
再由累加法得到．

填空题

13．0.9 14．3 15．

16．

【解析】设
，则

又
时，
，

∴
在
单调递减，由
得
，

∴
，∴
．

∴
．

解答题

17．【解析】（1）由
得
，所以
，

即
，

由
，得
，

即增区间为
．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）因为
，所以
，

所以
，因为
，所以
．

由余弦定理，得
，即
，

所以
，因为
，所以
．所以
．　．．．．．．．12分

18．【解析】

（1）以
点为原点，
、
、
分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，则
，

，故
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∵
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

∴
与
所成角的余弦值为
．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）解：设
，则
，

∵
，∴
，

即
，∴
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

又
，即
，

∴
，故
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

，∴
　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19．【解析】（1）当
时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个．若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个