湖南省衡阳市2016届高中毕业班联考（二）

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 复数
的虚部是（ ）

A．
B．
C．
D．

3.
（ ）

A．
B．
C．
D．1

4.给出下列三个命题：

(1)“若
，则
”为假命题；

(2)命题
：
，则
；

（3）“
=
”是“函数y = sin(2x+
)为偶函数”的充要条件；

其中正确的个数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5.已知函数
与
，它们的图象有一个横坐标为
的交点，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.下图是计算500名学生毕业测试成绩（满分为100分）及格率
的程序框图，则图中空白框内应填入（ ）

A．
B．
C．
D．

7.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数
的不足近似值和过剩近似值分别为
和
（
），则
是
的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道
，若令
，则第一次用“调日法”后得
是
的更为精确的过剩近似值，即
，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得
的近似分数为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 已知变量
满足
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面面积之比为：（ ）

A．
B．
C．
D．

10.如图，已知双曲线
上有一点
，它关于原点的对称点为
，点
为双曲线的右焦点，且满足
，设
，且
，则该双曲线离心率
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.如图，等边三角形
的中线
与中位线
相交于
，已知
是
绕
旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）

A．动点
在平面
上的射影在线段
上

B．异面直线
与
不可能垂直

C．三棱锥
的体积有最大值

D．恒有平面
平面

12.已知函数
的图象在点
处的切线方程
，若函数
满足
(其中
为函数
的定义域)，当
时，
恒成立，则称
为函数
的“转折点”，若函数
在
上存在一个“转折点”，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知幂函数
图象过点
，则
.

14.二项式
的展开式中，
与
项的系数之和是 （用数字作答）.

15.下侧茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵树为20棵的概率是 .

16.在
中，
，则
，设
为
内部及其边界上任意一点，若
，则
的最大值为 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）已知数列
的前
项和为
，且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）记
，求数列
的前
项和为
.

18. （本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）

几何题

代数题

总计



男同学

22

8

30



女同学

8

12

20



总计

30

20

50



(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5至7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6至8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.

（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为
,求
得分布列及数学期望
.

附：.

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001





2.706

3.841

5.024

6.635

10.828





19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，平面
⊥底面
，
为
的中点，
是棱
上的点，
.

(1)求证：平面
⊥平面
；

(2)若二面角
为30°，设
，试确定
的值.

20. （本小题满分12分）在直角坐标系
,椭圆
的左、右焦点分别为
，其中
也是抛物线
的焦点，点
为
与
在第一象限的交点，且
.

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点
的直线
与
交于不同的两点
，且
在
之间，试求
与
面积之比的取值范围.

21. （本小题满分12分）已知函数
满足
的图象与直线
相切于点（0,1）.

(1)求
的解析式；

(2)对任意
，定义
.证明：对任意
，均有
.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，
是⊙
的一条弦，延长
到点
，使得
，过点
作
且
，连接
与⊙
交于点
，连接
与⊙
交于点
.

(1)求证：
四点共圆；

(2)若
，求
.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲

已知在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
，（
为参数），以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线
的极坐标方程为
.

(1)求直线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；

(2)设点
是曲线
上的一个动点，求它到直线
的距离
的取值范围.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

(1)若不等式
的解集为空集，求实数
的取值范围；

(2)若
，且
，判断
与
的大小，并说明理由.

2016年衡阳市第二次联考

数学（理科）参考答案

一、选择题

1．【答案】C

【解析】：解不等式
，集合
其值域为
，所以

．

2．【答案】B

【解析】
，所以复数
的虚部是
．

3．【答案】C

【解析】

4．【答案】C

【解析】（1）∵命题“若
，则
”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此（1）不正确；（2）根据含量词的命题否定方式，可知命题(2)正确．（3）当
时，则函数
）为偶函数；反之也成立．故“
”是“函数
为偶函数”的充要条件；综上可知：真命题的个数2．

5．【答案】B

【解析】：由题意
，把四个选择支的值代入此式，只有A适合．故选A．

6．【答案】D

【解析】：由程序框图可知，
为及格的人数，
为不及格人数，所以及格率
，故选D.

7.【答案】B

【解析】：由调日法运算方法可知，第二次用调日法后得
是
更为精确的不足近似值，即
，故第三次调日法后得到
为
的近似分数。故选B

8．【答案】A

【解析】：根据题意作出不等式组所表示的可行域如下图阴影部分所示，即
的边界及其内部，又因为

，而
表示可行域内一点
和点
连线的斜率，由图可知

，根据原不等式组解得
，所以

．故选A．

9．【答案】D

【解析】：由三视图可知：该几何体是高为4的四棱锥，由此可计算得最小面积为2，底面积为5，比值为
故选D．

10．【答案】A

【解析】：在
中，
，
，

，
，

，

，故选A．

11．【答案】B

【解析】：依题意可知四边形
为菱形，对角线
与
互相垂直平分，故A正确，在旋转过程中