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准考证号

益阳市2016届高三4月调研考试

理科数学（试题卷）

注意事项：

1.本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页．

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．

4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面内，复数z1对应的点与复数
（
为虚数单位）对应的点关于虚轴对称，则z1等于

A．
B．
C．
D．

2．若集合
，
，则“
”是“A∩B=
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．计算：

A．
B．
C．
D．

4．抛物线
的准线被圆
所截得的线段长为4，则P=

A．1 B．2 C．4 D．8

5．某商场在今年元宵节的促销活动中，对该天９时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时到10时的销

售额为5万元，则11时到13时的销售额为

A．20万元　　　　　　　　

B．32.5万元

C．35万元

D．40万元

6．函数
的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为

A．
　　　　　　　　　　

B．

C．
　　　　　　　　　　

D．

7．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的表面积为80
，则OA与平面
所成的角的余弦值为

A．
B．
C．
D．

8．若实数
满足约束条件
则z=
的取值范围是

A．[0,6] B．[1,6] C．[1,5] D．[0,5]

9．若非零向量
满足
，则
夹角的余弦值为

A．
B．
C．
D．

10．若数列
满足
，且对于任意的
N＊都有
，则
等于

A．
B．
C．
D．

11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为

A．48

B．32

C．16

D．

12．设双曲线
的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若

，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答。第22题~24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．
的展开式中含
项的系数为 ．

14．执行如图所示的程序框图，

则输出的z值是 ．

15．已知数列
的前
项和为
，且

，
，其中
N＊．

则数列
的通项公式是
．

16．已知函数
是定义在
上

的偶函数，当
时，
，则函数
的零点个数为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知
的内角A、B、C的对边分别为
、
、
，且满足
，
，
．

(Ⅰ)求
；

(Ⅱ) 求
的值．

18．（本小题满分12分）

某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测。检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂。现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：

得分

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]



甲

5

10

34

11



乙

8

12

31

9



（Ⅰ）试分别估计产品甲，乙下生产线时为合格品的概率；

（Ⅱ）生产一件产品甲，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件产品乙，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元.在（Ⅰ）的前提下：

（1）记
为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量
的分布列和数学期望；

（2）求生产5件乙所获得的利润不少于300元的概率.

19．（本小题满分12分）

如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=3，AB=2，∠ABC=60o，点E为PC的中点，点F在PD上，且PF=2FD.

（Ⅰ）证明：BE // 平面AFC；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

20．（本小题满分12分）

设椭圆Ｃ：
经过点（
），且其左焦点坐标

为（－1,0）．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线
，
，其中
交椭圆于
,
交椭圆于
，求
的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）若曲线
在点（4，f ( 4 )）处的切线的斜率小于0，求
的单调区间；

（Ⅱ）对任意的
，
，恒有
，求k的取值范围。

请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的直径，PB是圆O的切线，过A点作AE∥OP交圆O于E点，PA交圆O于点F，连接PE.

(Ⅰ)求证：PE是圆O的切线；

(Ⅱ)设AO=3,PB=4,求PF的长.

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程是
（
为参数），以直角坐标原点为极点，

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是
.

(Ⅰ)求曲线C2的直角坐标方程；

(Ⅱ)设P为曲线C1上任意一点，Q为曲线C2上任意一点，求|PQ|的最小值.

24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

设不等式
的解集为M, a,b
M．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）比较
与
的大小．

益阳市2016届高三4月调研考试

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1．A 2．A 3．A 4．B 5．B 6．A

7．B 8．C 9．D 10．C 11．D 12．D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．－40 14．256 15．
16．6

三、解答题：本大题共6小题，共70分.

17.解：(Ⅰ)由正弦定理得

　　　 而
，且B是三角形的内角
，

　　　 所以
．…………………………6分

(Ⅱ)∵
，且A、B是三角形的内角，

∴A

∴

由正弦定理得：
． ……12分

18. 解：（Ⅰ）甲为合格品的概率约为：
,

乙为合格品的概率约为：
; ……………2分

（Ⅱ）（1）随机变量
的所有取值为190，85，70，-35，而且

,
,

,
;

所以随机变量
的分布列为：

190

85

70

－35















…………6分

所以：
……………8分

（2）设生产的
件乙中正品有
件，则次品有
件，

依题意，
，解得：
，取
或
，

设“生产
件元件乙所获得的利润不少于300元”为事件
，则：

……………………12分

19．解：（Ⅰ）以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，平面ABCD内过A点垂直AD的直线为x轴，建立如图所示空间直角坐标系.由题意知相关各点的坐标分别为
…………2分

由点E为PC的中点，点F在PD上，且PF=2FD得：

所以

设
=（x,y,z)是平面AFC的法向量，

则
,所以
，

令y=1取得平面AFC的一个法向量为
=
.…………………5分

由
，

又BE
平面AFC，所以BE//平面AFC. …………………8分

（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD知平面ACD的一个法向量为
=
,

因为cos<
,
>=
，

由题中条件可知二面角
为锐角，所以它的余弦值为
. …12分

注：第一问用几何方法证明记6分。其他解法相应记分。

20．解（Ⅰ）∵
，∴

∴椭圆的方程为：
． …………………………4分

(Ⅱ)① 当直线
中有一条直线的斜率不存在时，
=7 ……5分

②当直线
的斜率存在且不为
时，设直线
的方程
，设M
，
,

由
，得

∴
，

|MN|=

设直线
的方程为
，同理得：
所以
…………9分

设
，则
，所以

因为
，所以
时，
有最小值
．

综上，
的最小值是
………12分

21．解：(Ⅰ)

若曲线
在点（4，f(4)）处的切线的斜率小于0，

则

．

则由
得03a；由f
(x)<0得1

∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，（3a,
），单调递减区间为(1,3a)． ……4分

(Ⅱ)∵对任意的
，
,由(Ⅰ)知f(x)在[1,3]上为减函数。

不妨设1≤x1f(x2)，
，

∴原不等式可化为：
，

即
，对任意的
，1≤x1

令
，∴对任意的
，1≤x1

∴
在闭区间[1，3]上为增函数，

∴
对任意的
恒成立(等号成立的x值不连续）．

而
，

化简得
，

即
，其中
．

∵
，∴
，只需
，

即
对任意
恒成立． …………9分

令
，
，

则
，
恒成立，

∴
在闭区间[1,3]上为减函数，

则
．

由
，解得
． …………12分

22.解：(Ⅰ)连接OE，∵OA=OE,

∴∠OAE=∠OEA,

∵AE∥OP,

∴∠OAE=∠BOP, ∠OEA=∠EOP,

∴∠BOP=∠EOP,又OB=OE,OP=OP,

∴△BOP≌△EOP,

∴∠OEP=∠OBP,

∵PB是圆O的切线,∴∠OBP=90°,

∴∠OEP=90°，

∴PE是圆O的切线. …………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知△ABP 是直角三角形，

∵AB=2AO=6,PB=4,

∴PA=
,

∵PB是圆O的切线,

∴PB2=PF·PA,

PF=
. …………10分

23. 解：(Ⅰ)将
代入
得：

曲线C2的直角坐标方程为
. ………4分

(Ⅱ)由题意可知|PQ|的最小值即为P到直线
的距离的最小值，

∵
=

所以|PQ|的最小值为
. ………10分

24.解：当
时，原不等式可化为
，显然不成立；

当
时，原不等式可化