湖南省湘阴县2016届普通高考第二次联考试卷

数 学（文科）

命题人：周建山 审题人：盛任

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。时量120分钟，满分150分。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、考号写在答题卡的密封区内。

2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项答题。

3.本卷共4页，如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。

4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 已知复数
满足
（
是虚数单位），则
（ ）

A.1 B.2 C.3 D.

3.“
”是“
”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 从1、2、3、4中任取两个数，则其中一个数是另一个数两倍的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．等差数列
的前
项和为
，且满足
，则
（ ）

A．6 B．7

C．8 D．9

6．执行右面的程序框图，输出的
为（ ）

A．25 B．30

C．55 D．91

7. 已知函数
的图象的

两条相邻对称轴的距离是
，则
（ ）

A. 4 B.

C. 1 D. 2

8. 某零件的三视图如图所示，现用一长方体原件切割成

此零件，若产生的废料最少，则原件的体积为（ ）

A.
B.2

C. 4 D.8

9. 矩形
中，
，
为
的中点，若
，则
（ ）

A.
B.
C. 2 D. 3

10. 边长为2的正方形
的顶点都在同一球面上，球心到平面
的距离为1，则此球的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.抛物线

的焦点为
，过直线
上点
作
的两条切线
（
为切点），若
的最小值为8，则
（ ）

A．1 B．
C．2 D．4

12. 已知函数
，关于
的不等式
的解集是
，若
，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在题中的横线上.

13. 已知变量
满足约束条件
，则
的最大值为 .

14. 在
中，若
，则
.

15. 函数
的图象在
处的切线方程为
，则
.

16. 双曲线

的右焦点为
，其右支上总有点
，使得
（
为
的中点，
为坐标原点），则
的离心率的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知等差数列
的公差
，
，且
成等比数列.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)设
，数列
的前
项和为
，求
.

18．（本小题满分12分）

是指大气中直径
微米的颗粒物，其浓度是监测环境空气质量的重要指标.当
日均值在
（单位为微米/立方米，下同）时，空气质量为优，在
时空气质量为良，超过
时空气质量为污染.某旅游城市2016年春节7天假期里每天的
的监测数据如茎叶图所示.

(Ⅰ)以上述数据统计的相关频率作为概率，求该市某天空气质量为污染的概率；

(Ⅱ)某游客在此春节假期间有2天来该市旅游，已知这2天该市空气质量均不为污染， 求这2天中空气质量都为优的概率.

19.(本小题满分12分)

如图，三棱柱
中，
平面
，
.

(Ⅰ)求证：
；

(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正切值.

20．（本小题满分12分）

如图，已知椭圆
的离心率为
，且过点
.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)过点
的直线
与椭圆
交于不同的两点
（均异于点
）.问直线
与
的斜率之和是否是定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数
.

(Ⅰ)当
时，求函数
的极值；

(Ⅱ)如果对任意
，总有
，求实数
的取值范围；

(Ⅲ)求证：
.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
的圆心
在
的直角边
上，
都是
的切线，
是
与
相切的切点，
是
与
的交点.

(Ⅰ)证明：
；

(Ⅱ)若
，求
.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线
的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线
的参数方程是
（
为参数）.

(Ⅰ)求直线
的直角坐标方程和曲线
的普通方程；

(Ⅱ)若直线
与
、
轴交于
两点，点
为曲线
上任一点.

求
的面积的最小值.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
.

(Ⅰ)当
时，求不等式
的解集；

(Ⅱ)若函数
的图象与圆
相交形成的劣弧不超过圆周长的
.

求正数
的取值范围.

湖南省湘阴县2016届普通高考第二次联考试卷

数 学（文科）

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

D

B

C

B

C

D

C

A

C

D

B





二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 6 14.
15.
16.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.

17．（本小题满分12分）

【解】（Ⅰ）由题
即

又
所以

又
，联立解得

所以
…………………………………………6分

（Ⅱ）由题得

………………12分

18．（本小题满分12分）

【解】(Ⅰ)由题数据中7天有2天超过75，

则该市某天空气质量为污染的概率
.…………………………………5分

(Ⅱ)由题得，有5天空气质量不为污染，其中3天优设为
、
、
，2天良设为
、
.

则从这5天中随机抽取2天，共有

、
、
、
、
、
、
、
、
、
10个基本事件.

其中这2天中空气质量都为优的基本事件共有
、
、
3个

所以这2天中空气质量都为优的概率为
．………………………12分

19.(本小题满分12分)

【证明】（Ⅰ）

平面
，
平面

又
，即
，又

平面
，又
平面

…………………………………………3分

又四边形
为正方形

，又

平面
，又
平面

…………………6分

【解】（Ⅱ）设
，连接

由（Ⅰ）得
平面

是
在平面
上的射影

是直线
与平面
所成的角………9分

由题设
，则

，

在
中

直线
与平面
所成角的正切值为
………………12分

20．（本小题满分12分）

【解】(Ⅰ)由题
，又

所以

所以椭圆
的方程是
……………………………4分

【证明】(Ⅱ)（
）当直线
垂直于
轴时，解得