2016年黄冈市高三适应性考试

理科数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，
，则
中的元素个数为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

2．已知a为实数，若复数
为纯虚数，则
的值为( )

A．1 B．0 C．
D．

3．下列命题错误的是( )

A．若
为假命题，则
为假命题

B．若
，则不等式
成立的概率是

C．命题“
R使得
”的否定是：“
R,
”

D．已知函数
可导，则“
”是“
是函数
极值点”的充要条件

4．从1~9共9个自然数中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为( )

A． B． C． D．

5．设
是
所在平面内一点，
，则( )

A．
　　 B．

C．
D．

6．过双曲线
的右焦点
作一条直线，当直线倾斜角为
时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线倾斜角为
时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知
，
，若
，则
（ ）

A．图象关于
中心对称 B．图象关于直线
对称

C．在区间
上单调递增 D．周期为
的奇函数

8．已知实数x，y满足
，若目标函数
的最大值与最小值的差为2，则实数
的值为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．

9．在程序框图中，输入N=8，按程序运行后输出

的结果是（ ）

A．6 B．7

C．10 D．12

10．已知函数
有极值，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．
B．
C．
D．

12．若函数
满足对于任意实数
，都有
为某三角形的三边长，则称
为“可构造三角形函数”，已知
是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（　　）

A．
B．
C．
D．

填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知函数
为偶函数，则实数k的值为 ．

14．已知
的展开式中
的系数为-16，则实数a的值为 ．

15.已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心，
,
,则m=

16．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为2，直线
与双曲线C交于A，B两

点，线段AB中点M在第一象限，并且在抛物线
上，若点M到抛物线焦点

的距离为p，则直线
的斜率为 ．

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

在等差数列
中，
,
，数列
的前n项和
．

（Ⅰ）求数列
,
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前n项和
．

18．（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD中，∠ABC = 60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB = AE = 2．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACFE；

（Ⅱ）当直线FO与平面BED所成角的为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小．

19．(本小题满分12分)

2015年下半年，“豆芽花”发卡突然在全国流行起来，各地随处可见头上遍插“小草”的人群，其形象如图所示：

对这种头上长“草”的呆萌造型，大家褒贬不一．为了了解人们是否喜欢这种造型，随机从人群中选取50人进行调查，每位被调查者都需要按照百分制对这种造型进行打分．按规定，如果被调查者的打分超过60分，那么被调查者属于喜欢这种造型的人；否则，属于不喜欢这种造型的人．将收集的分数分成 [0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100] 五组，并作出如下频率分布直方图：

（Ⅰ）为了了解被调查者喜欢这种造型是否与喜欢动画片有关，根据50位被调查者的情况制作的
列联表如下表，请在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95℅以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型与自身喜欢动画片有关?

喜欢头上长“草”的造型

不喜欢头上长“草”的造型

合计



喜欢动画片

30







不喜欢动画片



6





合计









（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为总体概率．现采用随机抽样方法抽取3人，记被抽取的3人中喜欢头上长“草” 的造型的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求
的分布列、期望
和方差
．

下面的临界值表供参考：

P(K2≥k)

0．15

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001



k

2．072

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828



（参考公式： K 2 = ， 其中n = a + b + c + d）

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线
与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，若椭圆C上存在点P满足
（其中O为坐标原点），求实数
的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）若
,求函数
的最大值．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，
是圆
的直径，
是弦，
的平分线
交圆
于点
,
，交
的延长线于点
,
交
于点
．

（Ⅰ）求证：
是圆
的切线；

（Ⅱ）若
，求
的值．

23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
（
为参数，
），以坐标原点
为极点，
轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求直线
与曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）在曲线
上求一点
，使得它到直线
的距离最短．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）若不等式
有解，求实数
的最小值
；

（Ⅱ）若
，且
，证明：
．

2016年黄冈市高三适应性考试

数学答案（理科）

一、BDDCA BCCCA CD

二、13．
14．2 15．
16．

1．【答案】B

【解析】由于
，
，所以
中有3个元素，故选B．

2．【答案】D

【解析】因为复数
为纯虚数,所以
，即a=1，所以

=
，故选D．

3．【答案】D

【解析】已知函数
可导，则“
”是“
是函数
极值点”的必要不充分条件，故选D．

4．【答案】C

【解析】基本事件总数

因为这9个数的和为45，而且取出的7个数之和为35，所以平均数为5的事件个数相当于从1与9；2与8；3与7；4与6这4组数中去掉一组数的个数，即共4个基本事件个数，所以取出七个数的平均数是5的概率为
，故选C．

5．【答案】A

【解析】
，故选A．

6．【答案】B

【解析】由题意知
,所以
所以
，故选B．

7．【答案】C

【解析】

,易知只有C选项正确．

8．【答案】C

【解析】作出不等式组
对应的平面区域如图：

由z=2x+y得
，

平移直线
，由图象可知：

当直线
经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，

由
，解得
，即
，此时
，

当直线
经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，

由
，解得
，即
，此时
，

因为目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2，所以
，即m=2．故选C．

9．【答案】C

【解析】由于程序中根据
的取值，产生的
值也不同

由题意知，在循环体中，当
时，T=n；当
时，T=-n-1；当
时，T=n+1；

故可将程序中的
值从小到大，每四个分为一组，即
，

而且每组的4个数中，偶数值乘以
累加至
，但两个奇数对应的
值相互抵消，即
，故选C．

10．【答案】A

【解析】
，若函数
有极值，则函数
有零点，即方程
有解，从而函数
与
图象有公共点，下考虑直线
与曲线
相切的情况：

设切点
，∴
，即
，∴
代入曲线
中，解得
，结合图象可知，当