2015—2016学年下学期高三年级

第一次半月考理数试卷

考试时间：2016年2月19日

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数
（
为虚数单位），
为
的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）A.
的实部为
B.
的虚部为
C.
D.

2. 已知集合

，若
是
的充分不必要条件，则实数
的取值范围为（ ） A.
B.
C.
D.

3. 下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递减的是（ ）A.
B.
C.
D.

4. 定义运算
为执行如图所示的程序框图输出的
值，则
的值为( )A.
B.
C.
D.

5. 以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位:分）

甲组



乙组





9

0

9









2

1

5



8



7

4

2

4







已知甲组数据的中位数为
,乙组数据的平均数为
,则
的值分别为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 设实数列
和
分别是等差数列与等比数列，且
，
，则以下结论正确的是（ ）A．
B．
C．
D．

7.设集合
=
，选择
的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( )

A．50种 B.49种 C.48种 D.47种

8. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数
的不足近似值和过剩近似值分别为
和
（
），则
是
的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道
，若令
，则第一次用“调日法”后得
是
的更为精确的过剩近似值，即
，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得
的近似分数为（ ）A.
B.
C.
D.

9.已知
若
则直线
的倾斜角为（ ）A.
B.
C.
D.

10. 过曲线
的左焦点
作曲线
的切线，设切点为M，延长
交曲线
于点N，其中
有一个共同的焦点，若
，则曲线
的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

11. 某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（ ）A．
B．
C．
D．

12. 已知函数
的图像在点
处的切线方程
，若函数
满足
（其中
为函数
的定义域），当
时，
恒成立，则称
为函数
的“转折点”.已知函数
在
上存在一个“转折点”，则
的取值范围为（ ）A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 已知函数
，则
的值为 .

14. 已知抛物线
上一点
到焦点
的距离为5，则
的面积为 .

15. 若
的展开式所有的系数之和为81，则直线
与曲线
所围成的封闭区域面积为 .

16. 已知三角形
中，
边上的高与
边长相等，则
的最大值是______

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分） 已知数列
的前
项和为
，且满足
.

（I）求数列
的通项公式；(II)设
，求数列
的前
项和
.

18.（本小题满分12分）如右下图，在四棱锥
中，直线
，
，
（I）求证：直线
平面
. （II）若直线
与平面
所成的角的正弦值为
，

求二面角
的平面角的余弦值.

19.（本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）

（I）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（II）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．（III）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为
， 求
的分布列及数学期望
．附表及公式

20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆
：
经过点
，且离心率等于
．点
分别为椭圆
的左、右顶点，
是椭圆
上非顶点的两点，且
的面积等于
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
作
交椭圆
于点
，求证：
．

21.（本小题满分12分）已知函数
，
．

（1）（i）求证：
；

（ii）设
，当
，
时，求实数
的取值范围；

（2）当
时，过原点分别作曲线
与
的切线
，
，已知两切线的斜率互为倒数，证明：
．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.

如图，正方形
边长为2，以
为圆心、
为半径的圆弧与以
为直径的半圆
交于点
，连结
并延长交
于点
．

（I）求证：
；

（II）求
的值.

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线
的极坐标方程为
,正三角形
的顶点都在
上，且
，
，
依逆时针次序排列，点
的坐标为
．（I）求点
，
的直角坐标；（II）设
是圆
：
上的任意一点，求
的取值范围．

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数
．（I）当
时，求不等式
的解集；（II）若
的解集包含
，求实数
的取值范围.

数 学（理科）试 题（参考答案）

选择题

1-6 C A D C C B 7-112 B A D D B D

填空题

,
,
，

解答题

17.解（Ⅰ）当
时，由
①，得
②，①-②即得
………2分,而当
时，
，故
………3分，因而数列
是首项为
公比为
的等比数列，其通项公式为
.……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
,故
.………8分，数列
的前
项和

.………12分

18.法一（Ⅰ）取
中点
，连接
，则
，∴四边形
是平行四边形，∴
//
∵直角△
和直角△
中，
∴直角△
直角△
，易知
∴
………2分又∵
平面
∴
……4分，而
∴
平面
.得证. ……5分

（Ⅱ）由△
△
，知
，∵
∴
，
设
交
于
，连接
，则
是直线
与平面