湖北省 八校

2016届高三第二次联考

数学试题（理科）

命题学校：黄冈中学 命题人：冯小玮 袁小幼 审题人：范裕龙

考试时间：2016年3月29日 下午15:00—17:00 试卷满分150分 考试用时120分钟

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．

2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2．若复数
是纯虚数（
为虚数单位），则
的值为( )

A．
B．
C．
D．
或

3．在各项均为正数的等比数列
中，
且
成等差数列，记Sn是数列{an}的前n项和，则
( )

A．32 B．62 C．27 D．81

4．已知函数
的最小正周期为
，且其图像向左平移
个单位后得到函数
的图像，则函数
的图像( )

A．关于直线
对称 B．关于直线
对称

C．关于点
对称 D．关于点
对称

5．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为( )

A．
B．
C．
D．

6．已知定义在R上的函数
满足
，
，且当
时,
,则
= ( )

A．
B．
C．
D．

7．若如下框图所给的程序运行结果为S=41，则图中的判断框①中应填入的是( )

A．

B．

C．

D．

8．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

9．设
为椭圆
的两个焦点，点
在椭圆上，若线段
的中点在
轴上，则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

10．已知变量
满足
若目标函数
取到最大值
，则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某

多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( )

A．
B．

C．
D．

12．已知直线
与曲线
相交于
,且曲线
在
处的切线平行，则实数
的值为( )

A．
B．4或
C．
或
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．已知
，则二项式
的展开式中
的系数为 ．

14．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D为AC中点，点E满足
，则
＝ ．

15．已知双曲线
的渐近线被圆
截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ．

16．已知数列
的前
项和为
，对任意
，
且

恒成立，则实数
的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)在
中，角
的对边分别为
，且满足

．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若点
为
中点，且
，求
．

18．(本小题满分12分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）

平均每天锻炼

的时间（分钟）















总人数

20

36

44

50

40

10



将学生日均课外课外体育运动时间在
上的学生评价为“课外体育达标”．

（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面
列联表，并通过计算判断是否能在犯

错误的概率不超过
的前提下认为 “课外体育达标”与性别有关？

课外体育不达标

课外体育达标

合计



男









女



20

110



合计









（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为
，若每次抽取的结果是相互独立的，求
的数学期望和方差．

参考公式：
，其中

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



参考数据：

19．(本小题满分12分)已知四棱锥
,底面
是直角梯形，
∥
,

,
，
是边长为
的等边三角形，
．

（Ⅰ）求证：平面
；

（Ⅱ）若点
为
中点,求二面角
的余弦值．

20．（本题满分12分）已知抛物线
上点
处的切线方程为
．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）设
和
为抛物线上的两个动点，其中
且
，线段
的垂直平分线
与
轴交于点
，求
面积的最大值．

21．（本题满分12分）已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求
的单调性；

（Ⅱ）若
,且方程
有两个不相等的实数根
．求证：

．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．(本小题满分10分) 选修4-1 ：几何证明选讲

如图，在锐角三角形
中，
，以
为直径的圆
与边

另外的交点分别为
，且
于
．

（Ⅰ）求证：
是
的切线；

（Ⅱ）若
，
，求
的长．

23．(本小题满分10分) 选修4-4 ：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点
的直角坐标为
，点
的极坐标为
，若直线
过点
，且倾斜角为
，圆
以
为圆心，
为半径．

（Ⅰ）求直线
的参数方程和圆
的极坐标方程；

（Ⅱ）设直线
与圆
相交于
两点，求
．

24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数
的定义域为
．

（Ⅰ）求实数
的范围；

（Ⅱ）若
的最大值为
，当正数
满足
时，求
的最小值．

湖北省八校2016届高三第二次联考

理科数学试题答案及评分参考

一、选择题

1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C

7．C 8．D 9．B 10．B 11．D 12．B

二、填空题

13．
14．
15．
16．

三、解答题

17．解答：（Ⅰ）
，

即
，

，

，所以
，得
． ………6分

（Ⅱ）解法一：取
中点
,连
,则
,则
，则
，

由（Ⅰ）知
，
，

由正弦定理知，
，得
. ………12分

解法二：由（Ⅰ）知
，又
为
中点，
，

在
中，由余弦定理分别得：

又
，


，

由正弦定理知，
，得
.

课外体育不达标

课外体育达标

合计



男

 60

30

90



女

90

20

110



合计

150

50

200



18 ．解答：（Ⅰ）

………5分

所以在犯错误的概率不超过
的前提下不能判断 “课外体育达标”与性别有关．

………6分

（Ⅱ）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率，

………8分

． ………12分

19．解答：（Ⅰ）
是边长为
的等边三角形, 底面
是直角梯形，

又