绝密★启封前

2016年全国高等学校统一招生考试汉阳一中仿真模拟（一）

数 学（理科）

考试时间：2016年4月26日15：00—17：00 试卷满分：150分

1、答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用合乎要求的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用合乎要求的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用合乎要求的2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1．如果复数
，则（　　）

A．|z|＝2 B．z的实部为1

C．z的虚部为－1 D．z的共轭复数为1＋i

2．若集合
，
，则“
”是“A∩B=
”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．某商场在今年元宵节的促销活动中，对该天９时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时到10时的销售额为5万元，则11时到13时的销售额为（　　）

A．20万元　　　　　　　　

B．32.5万元

C．35万元

D．40万元

4．已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前
项和为286，则项数
为（　　）

A．24 B．26 C．27 D．28

5.右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相

除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示
除以
的余数），

若输入的
分别为495，135，则输出的
= （　　）

A．45 B．5 C．0 D．90

6. 有关以下命题：

①用相关指数
来刻画回归效果，
越小，说明模型的拟合效果越好；

②已知随机变量
服从正态分布
，

则
；

③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,

16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60；

其中正确的命题的个数为（ ）

　 A. 3个　　　 B. 2个　　 　C. 1个　　　 D. 0个

7．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组
则tan∠AOB的最大值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知直线
与抛物线

交于
两点，点
，若
，则
（　　）

A．
B．
C．
D．0

9. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数
的不足近似值和过剩近似值分别为
和

，则
是
的更为精确的不足近似值或过剩近似值。我们知道
，若令
，则第一次用“调日法”后得
是
的更为精确的过剩近似值，即
，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得
的近似分数为（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知等差数列
的公差
，且
成等比数列，若
，
为数列
的前
项和，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为

A．48

B．32

C．16

D．

12.已知函数
，
，当
时，方程

根的个数是（ ）

A、
B、
C、
D、

第Ⅰ卷

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置.)

13．
的展开式中含
项的系数为 ．

14. 已知直角梯形
，
∥
，
．
，
，
是腰
上的动点，则
的最小值为_______．

15．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为__________。

16.设函数
的图象上存在两点
，使得
是以
为直角顶点的直角三角形（其中
为坐标原点），且斜边的中点恰好在
轴上，则实数
的取值范围是 .

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

中，角A,B,C的对边分别为
，且

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若BD为AC边上的中线，
，BD=
，求△ABC的面积

18.（本小题满分12分）

在四棱柱
中，底面
是菱形，且AB=AA1，
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）若
，求平面
与平面
所成角的大小．

19. （本小题满分12分）

小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下.

图1 表1

（Ⅰ）求小王这
天 “健步走”步数的平均数；

（Ⅱ）从步数为
千步、
千步、
千步的几天中任选
天，设小王这
天通过健步走消耗的“能量和”为
，求
的分布列.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：
=l(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且
。

(I)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．

21．（本小题满分12分）已知函数
，
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）对一切
，
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）证明：对一切
，都有
成立.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修
：几何证明选讲

如图，△
的两条中线
和
相交于点
，且
四点共圆．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求
．

（23）（本小题满分10分)选修
：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），在以原点为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
.

（Ⅰ）求
的普通方程和
的倾斜角；

（Ⅱ）设点
，
和
交于
两点，求
．

（24）（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）求不等式
的解集
；

（Ⅱ）设
，证明：
．

理科数学答案

1-5CABBA 6-10 DABAA 11D 12 B

13 -40 ， 14 3, 15 4
, 16

17.解: (1)
,由正弦定理，得
,------------2分

……………………3分

,

因为
，所以
，所以
,

因为
，所以
.-----------5分

（2）法一：在三角形
中，由余弦定理得:

所以
……（1）…………………7分

在三角形
中，由正弦定理得
，由已知得

所以


，…………………9分

所以
……（2）………………………10分,由（1），（2）解得

所以
……………………12分

法二： 延长
到
,
,连接
,
中，
,

因为
，

(1)------7分,由已知得，
所以
,……9分
(2)----------10分

由（1）（2）解得
,
----------12分

18.解：（Ⅰ）因为
，
，

所以
和
均为正三角形，

于是
……………………………………………………1分

设
与
的交点为
，则
………………………2分

又
是菱形，所以
……………………………3分

而
，所以
平面
……………4分

而
平面
，故平面
⊥平面
……………………………………5分

（Ⅱ）由
及
知
…………………………………6分

又由
得
，故
…………7分

于是
，从而
，结合

得
底面
…………………………8分

如图，建立空间直角坐标系，

则
，

，
………9分

设平面
的一个法向量为
，

由
得
，

令
，得
……………………………………………………………………10分

平面
的一个法向量为
，设平面
与平面
所成角为
，

则
…………………………………………………………………11分

故
……………………………………………………………………………………12分

19.解：(I) 小王这8天 “健步走”步数的平均数为

（千步）. 4分

（II）
的各种取值可能为800，840，880，920. 5分

,

9分

的分布列为：

800

840

880

920















12分

21.（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：
，得

由
，得

∴
的递增区间是
，递减区间是
………………4分

（Ⅱ）对一切
，
恒成立，可化为
对一切
恒成立令
，

当
时
，即
在
递减

当
时
，即
在
递增

∴
∴
，即实数
的取值范围是
………………8分

（Ⅲ）证明：
等价于
，即证

由（Ⅰ）知
，（当
时取等号）

令