天门市2016年高三年级五月调研考试试题

高三数学（文科）试题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。

1．设全集
，集合
，则C
A= B

A．
B．{ 2 } C．{ 5 } D．{ 2，5 }

2．已知i为虚数单位，且复数
，
，若
是实数，则实数b的值为 A

A．6 B．-6 C．0 D．

3．某设备的使用年限x（单位：年）与所支付的维修费用y（单位：千元）的一组数据如下：

使用年限x

2

3

4

5



维修费用y

2

3.4

5

6.6



 从散点图分析y与x线性相关，根据上表中数据可得其回归直线方程
中的
，由此预测该设备的使用年限为6年时，需支付的维修费用约是 C

A．7.2千元 B．7.8千元 C．8.1千元 D．8.5千元

4．已知命题
；命题
，给出下列结论：

（1）命题
是真命题；（2）命题
是假命题；（3）命题
是真命题；

（4）
是假命题．其中正确的命题是 A

A．（2）（3） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（2）（3）

5．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中最大面的面积是 C

A．
B．
C．
D．

6．集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，

则这两数之和等于4的概率是 C

A．
B．
C．
D．

7．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 B

A．7 B．9 C．10 D．11

8．（哈佛大学思维游戏）南京东郊有一个宝塔，塔高60多米，九层八面，中间没有螺旋的扶梯．宝塔的扶梯有个奥妙，每上一层，就少了一定的级数。从第四层到第六层，共有28级．第一层楼梯数是最后一层楼梯数的3倍．则此塔楼梯共有 B

A．117级 B．112级 C．118级 D．110级

9．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离之比为1:2:3，PO=
，则P点到这三个平面的距离为 A

A．2，4，6 B．4，8，12 C．3，6，9 D．5，10，15

10．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是 D

A．
B．

C．
D．

11．已知
、
为双曲线
的左、右焦点，点P在C上，
，则点P到x轴的距离为 B

A．
B．
C．
D．

12．设
表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有 D

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题 共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

13．如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为

线段OC的中点，则

▲ ．

14．如果实数x，y满足不等式组
目标函数
的最大值为6，最小值为0，那么实数k的值为 2 .

15. 已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面
，H为垂足，
截球O所得截面积为
，则球O的表面积为
.

16．若函数
的图象关于直线
对称，则
的最大值为 16

三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～24为选做题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。

17．（本题满分12分）

如图，在△ABC中，∠ABC=90o，
，
，P为△ABC内一点，∠BPC=90o.

（Ⅰ）若
，求PA；

（Ⅱ）若∠APB=150o，求
.

17．解：（Ⅰ）由已知得∠PBC=60o，所以∠PBA=30o.

在△PBA中，由余弦定理得

，

故
………………………………………………………………6分

（Ⅱ）设
，由已知得

在△PBA中，由正弦定理得

化简得
，

所以
…………………………………………………………12分

18.（本题满分12分）

如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.

（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）设Q为PA的中心，G为△AOC的重心，

求证：QG//平面PBC .

18．（Ⅰ）证明：由AB是圆的直径，得
，

由
平面ABC，
平面ABC，得
．

又
，
平面PAC，
平面PAC，

所以
平面PAC．

因为
平面PBC，

所以平面PAC⊥平面PBC……………………………………………6分

（Ⅱ）解：连接OG并延长交AC于点M，连接QM，QO，

由G为△AOC的重心，得M为AC中点，

由Q为PA中点，得QM//PC，

又O为AB中心，得OM//BC

因为
，
平面QMO，
平面QMO，

，
平面PBC，
平面PBC，

所以平面QMO//平面PBC，

因为
平面QMO，

所以QG//平面PBC……………………………………………………12分

19．（本题满分12分）

某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

X

1

2

3

4



Y

51

48

45

42



这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．

（Ⅰ）完成下表，并求所种作物的平均年收获量：

Y

51

48

45

42



频数



4







（Ⅱ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．

19．解：（Ⅰ）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相 近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：

Y

51

48

45

42



频数

2

4

6

3



 所种作物的平均年收获量为

………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，

故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48kg的概率为

………………………12分

20．（本题满分12分）

已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）讨论
的单调性，并求
的极大值．

20．解：（Ⅰ）

由已知得
，

故
，
从而
，
……………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
．

．

令
，得
或
．

从而当
时，
；

当
时，
．

故
在
上单调递增，

在
上单调递减．

当
时，函数
取得极大值，

极大值为
………………………………………………12分

21．（本题满分12分）

已知圆
，圆
，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．

21．解：由已知得圆M的圆心为M（-1，0），半径
；

圆M的圆心为N（1，0），半径
．

设圆P的圆心为P（x，y），半径
．

（Ⅰ）因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为
的椭圆（左顶点除外），其方程为
………………6分

（Ⅱ）对于曲线上任意一点
，由于
，

所以当
，当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2，

所以当圆P的半径最长时，其方程为

若l的倾斜角为90o，则l与y轴重合，可得

若l的倾斜角不为90o，由
知l不平行于x轴，

设l与x轴的交点为Q，则
，

可求得Q（-4，0），

所以可设

由l与圆P相切得

解得

当
时，将
代入
，

整理得
，

解得

所以

综上，
……………………………………12分

请考生在22，23，24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑。

22．（本题满分10分）【选修4—1 几何证明选讲】

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC

的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D．

（Ⅰ）证明：DB=DC；

（Ⅱ）设圆的半径为1，
，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

22．（Ⅰ）证明：如图，连接DE，交BC于点G

由弦切角定理，得∠ABE=∠BCE，

而∠ABE=∠CBE，

故∠CBE=∠BCE，

所以BE=CE

又因为DB⊥BE，

所以DE为圆的直径，

∠DCE=90o

由勾股定理可得DB=DC………………………………………………5分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE，DB=DC，

故DG是BC边的中垂线，所以

设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60o，

从而∠ABE=∠BCE=∠CBE =30o，

所以CF⊥BF，

故Rt△BCF外接圆的半径等于
……………………………………10分

23．（本题满分10分）【选修4—4 坐标系与参数方程选讲】

在极坐标系中，O为极点，半径为2的圆C的圆心极坐标为
．

(Ⅰ)求圆C的极坐标方程；

(Ⅱ)在以点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线
的参数方程为

，直线
与圆C相交于A，B两点，已知定点M（1，-2），求
．

23．解：（Ⅰ）设
是圆上任意一点，

则在等腰三角形COP中，OC=2，
，
，而

所以，
即为所求的圆C的极坐标方程……………………5分

（Ⅱ）圆C的直角坐标方程为

将直线
的方程

，代入圆C的方程得

，

其两根

所以

……………………………………10分

24．（本题满分10分）【选修4—5 不等式选讲】

已知
．

(Ⅰ) 求函数
的值域；

(Ⅱ)求不等式
的解集．

24．解：（Ⅰ）当
时，
，

所以
，即函数
的值域为[-3，3]……………………5分

(Ⅱ)由（Ⅰ）呆知，当
时，
的解集为空集；

当
时，
的解集为
；

当
时，
的解集为

综上，不等式
的解集为
…………10分

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