天门市2016年高三年级五月调研考试试题

高三数学（理科）试题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试题卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。

1．设全集
，集合
，则C
A= B

A．
B．{ 2 } C．{ 5 } D．{ 2，5 }

2．已知i为虚数单位，且复数
，
，若
是实数，则实数b的值为 A

A．6 B．-6 C．0 D．

3．某设备的使用年限x（单位：年）与所支付的维修费用y（单位：千元）的一组数据如下：

使用年限x

2

3

4

5



维修费用y

2

3.4

5

6.6



 从散点图分析y与x线性相关，根据上表中数据可得其回归直线方程
中的
，由此预测该设备的使用年限为6年时，需支付的维修费用约是 C

A．7.2千元 B．7.8千元 C．8.1千元 D．8.5千元

4．已知命题
；命题
，给出下列结论：

（1）命题
是真命题；（2）命题
是假命题；（3）命题
是真命题；

（4）
是假命题．其中正确的命题是 A

A．（2）（3） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（2）（3）

5．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中最大面的面积是 C

A．
B．
C．
D．

6．设m为正整数，
展开式的二项式系数的最大值

为a,
展开式的二项式系数的最大值为b,

若
，则
B

A．5 B．6 C．7 D．8

7．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 B

A．7 B．9 C．10 D．11

8．（哈佛大学思维游戏）南京东郊有一个宝塔，塔高60多米，九层八面，中间没有螺旋的扶梯．宝塔的扶梯有个奥妙，每上一层，就少了一定的级数。从第四层到第六层，共有28级．第一层楼梯数是最后一层楼梯数的3倍．则此塔楼梯共有 B

A．117级 B．112级 C．118级 D．110级

9．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离之比为1:2:3，PO=
，则P点到这三个平面的距离为 A

A．2，4，6 B．4，8，12 C．3，6，9 D．5，10，15

10．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是 D

A．
B．

C．
D．

11．已知
、
为双曲线
的左、右焦点，点P在C上，
，则点P到x轴的距离为 B

A．
B．
C．
D．

12．已知定义域为R的奇函数
的导函数为
，当
时，
，若
，
，
，则
，
，
的大小关系正确的是 A

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题 共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

13．如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为

线段OC的中点，则

▲ ．

14．如果实数x，y满足不等式组
目标函数
的最大值为6，最小值为0，那么实数k的值为 2

15. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有 120 个.

16．当
时，有如下表达式：
．两边同时积分得：

，从而得到如下等式：

．

请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：

三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～24为选做题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。

17．（本题满分12分）

如图，在△ABC中，∠ABC=90o，
，
，P为△ABC内一点，∠BPC=90o.

（Ⅰ）若
，求PA；

（Ⅱ）若∠APB=150o，求
.

17．解：（Ⅰ）由已知得∠PBC=60o，所以∠PBA=30o．

在△PBA中，由余弦定理得

，

故
………………………………………………………………6分

（Ⅱ）设
，由已知得

在△PBA中，由正弦定理得

化简得
，

所以
…………………………………………………………12分

18.（本题满分12分）

如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.

（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角C-PB-A的余弦值。

18．证明：（Ⅰ）由AB是圆的直径，得
，

由
平面ABC，
平面ABC，得
．

又
，
平面PAC，
平面PAC，

所以
平面PAC．

因为
平面PBC，

所以平面PAC⊥平面PBC……………………………………………6分

（Ⅱ）解法一：过C作CM//AP，则CM⊥平面ABC．

如图（1），以点C为坐标原点，分别

以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z

轴建立空间直角坐标系．

在Rt△ABC中，因为AB=2，AC=1，

所以
.

又因为PA=1，所以A（0，1，0），B（
，0，0），P（0，1，1）．

故
．

设平面BCP的法向量为
，

则
所以

不妨令
，则
．

因为

设平面ABP的法向量为
，

则
所以

不妨令
，则
．

于是
．

由图（1）知二面角C-PB-A为锐角，

故二面角C-PB-A的余弦值为
…………………………12分

（Ⅱ）解法二：如图（2），过C作CM⊥AB于M，

因为PA⊥平面ABC，
平面ABC，

所以PA⊥CM．

又因为
，且
平面PAB，
平面PAB，

所以CM⊥平面PAB．

过M作MN⊥PB于N，连接NC，

由三垂线定理得CN⊥PB，

所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角．

在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，

得
，
，
．

在Rt△PAB中，由AB=2，PA=1，得
．

因为Rt△BNM∽Rt△BAP，

所以
，所以

所以在Rt△CNM中，
，

所以
，

所以故二面角C-PB-A的余弦值为
…………………………12分

19．（本题满分12分）

某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

X

1

2

3

4



Y

51

48

45

42



这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．

（Ⅰ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；

（Ⅱ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．

19．解：（Ⅰ）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，

边界上的作物株数为12．

从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有
（种），

选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8（种）

故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为
……………………………………………………6分

（Ⅱ）先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列

因为
，
，
，

，

所以只需求出
即可．

记
为其“相近”作物恰有k株的作物株数
，则

，
，
，
．由
得

，
，
，

故所求Y的分布列为

Y

51

48

45

42



P











所求的数学期望为

……12分

20．（本题满分12分）

已知圆
，圆
，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．

20．解：由已知得圆M的圆心为M（-1，0），半径
；

圆M的圆心为N（1，0），半径
．

设圆P的圆心为P（x，y），半径
．

（Ⅰ）因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为
的椭圆（左顶点除外），其方程为
………………6分

（Ⅱ）对于曲线上任意一点
，由于
，

所以当
，当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2，

所以当圆P的半径最长时，其方程为

若l的倾斜角为90o，则l与y轴重合，可得

若l的倾斜角不为90o，由
知l不平行于x轴，

设l与x轴的交点为Q，则
，

可求得Q（-4，0），

所以可设

由l与圆P相切得

解得

当
时，将
代入
，

整理得
，

解得

所以

综上，
……………………………………12分

21．（本题满分12分）

已知函数
其中
是实数．设
，
为该函数图象上的两点，且
．

（Ⅰ）指出函数
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
的图象在点A，B处的切线互相垂直，且
，求
的最小值；

（Ⅲ）若函数
的图象在点A，B处的切线重合，求
的取值范围．

21．解：（Ⅰ）函数
的单调递减区间为（-∞，-1），

单调递增区间为[-1，0），（0，+∞）……………………………………2分

（Ⅱ）由导数的几何意义可知，

点A处的切线斜率为
，点B处的切线斜率为
，

故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，

有

当
时，对函数
求导，得

因为
，所以

所以
，

因此
，

当且仅当
，

即
时，等号成立

所以函数
的图象在点A，B处的切线互相垂直时，

的最小值为1………………………………………………8分

（Ⅲ）当
或
时，

，故

当
时，函数
的图象在点
处的切线方程为

，

即

当
时，函数
的图象在点
处的切线方程为

即

两切线重合的充要条件是

由①及
知，

由①②，得

因为函数
，
在（-1，0）上递减

所以
的取值范围为（
，