龙泉中学2016届高三5月月考

数学（理工类）

本试卷共 2 页，共 24 题，考生必答 22 题。满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）

1．若全集
，集合
，则

A．
B．
C．
D．

2．设复数
在复平面内的对应点关于虚轴对称，若
是虚数单位，则
的虚部为

A．
B．
C．
D．

3．阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为

A．
B．
C．
D．

4．若
的展开式中含有常数项，则
的最小值等于

A．
B．
C．
D．

5．若实数
满足不等式组
则
的最 大值是

A．15 B．14 C．11 D．10

6．已知点
，若圆
上存在点P（不同于点A,B）使

得
，则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．

7．已知双曲线
(a>0，b>0)的焦距为2
，抛物线
与双曲线C

的渐近线相切，则双曲线C的方程为

A．
B．
C．
D．

8．三棱锥
中, 已知
,点
是
的重心,且

,则
的最小值为

A．2 B．
C．
D．

9．命题
：“
”；命题
：“对任意的
，不等式
恒成立”，

则
是
的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

10．一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，

其三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．
B．

C．
D．

11．从
中挑出三个不同数字组成五位数，则其中有两个数字各用两次（例如，
）的概率为

A．
B．
C．
D．

12．已知
若方程
有三个不等的实根，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若
为偶函数，则
的解集为 ．

14．在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高．观众A、B、C做了以下预测：

A说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”．

B说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”．

C说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”．

比赛结果出来后，发现A、B、C三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，

还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是 ．

15．设
为单位向量，若向量c满足
，则
的最大值是 ．

16．对于给定的正整数
和正数
，若等差数列
满足
，则

的最大值为__________________．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

如图，在△
中，
，
，点
在线段
上．

（Ⅰ）若
，求
的长；

（Ⅱ）若
，△
的面积为
，求
的值．

18．（本小题满分12分）

语文成绩服从正态分布
，数学成绩的频率分布直方图如下：

（Ⅰ）如果成绩大于135的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）

（Ⅱ）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（Ⅰ）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有
人，求
的分布列和数学期望．

（附参考公式） 若
，则

，

．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
，侧面
是边长为
的等边三角形，点
是
的中点，且平面
平面
．

（Ⅰ）求异面直线
与
所成角的余弦值；

（Ⅱ）若点
在线段
上移动，是否存在点
使平面
与平面
所成的角为
？

若存在，指出点
的位置，否则说明理由．

20．（本小题满分12分）

已知点
是直线
与椭圆
的一个公共点，
分别为该椭圆的左右焦点，设
取得最小值时椭圆为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知
是椭圆
上关于
轴对称的两点，
是椭圆
上异于
的任意一点，直线
分别与
轴交于点
，试判断
是否为定值，并说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数
，曲线
与
在原点处有公共切线．

（Ⅰ）若
为函数的极大值点，求
的单调区间（用
表示）；

（Ⅱ）若
，
，求
的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑．

22．(本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

等腰梯形
中，
∥
，
、
交于点
，
平分
，
为梯形
外

接圆的切线，交
的延长线于点
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，
，
，求
的长．

23．(本小题满分10分）选修
：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为

为参数
；在以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求曲线
的极坐标方程和曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若射线
：

与曲线
，
的交点分别为
（
异于原点），当斜率

时，求
的取值范围．

24．(本小题满分10分）选修
：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）若
，求证
；

（Ⅱ）若对任意
，都有
，求L的最小值．

龙泉中学2016届高三5月月考数学（理）参考答案

一．选择题： 1-5 BADCB 6-10 DCAAB 11-12 BA

二．填空题： 13．
14．甲 15．
16．

三．解答题：

17．解：（Ⅰ）在三角形中，

…………2分

在
中，由正弦定理得
,

又
，
，

． …………5分

（Ⅱ）
,
,
,

又
，
， …………7分

,
，

，
，

， ………9分

在
中，由余弦定理得
．

，

． …………12分

18．解：（Ⅰ）语文成绩特别优秀的概率为
…………1分

数学成绩特别优秀的概率为
…………3分

语文成绩特别优秀人数为
人，

数学成绩特别优秀人数为
人 …………5分

（Ⅱ）语文数学两科都优秀的6人，单科优秀的有10人，

X所有可能的取值为0，1，2，3

…………10分

分布列略 …………11分

数学期望
…………12分

19．解：（Ⅰ）因为平面
平面
，底面
是菱形，
，

故
取
中点
，则
，

以
为坐标原点，
为
轴，
为
轴建立平面直角坐标系，
，
,
,

,
,
…………2分

（Ⅰ）
，
，

则
，
，

设异面直线
与
所成角为
,

所以异面直线
与
所成角的余弦值为
…………6分

(Ⅱ)设存在点
，使平面
与平面
所成的角为
，

设
，因为
三点共线，
，
，

所以，
，
，

设平面
的一个法向量为
，

令
，
．
…………8分

设平面
的一个法向量为
，

令
，
．
,又
…………10分

若平面
与平面
所成的角为
，则
，

故
，即
，此时
，点
在
延长线上，

所以，在
边上不存在点
使平面
与平面
所成的角为
…………12分

20．解：解法一：（Ⅰ）将
代入椭圆方程
，得
，

直线
与椭圆有公共点，

，得
，
………3分

又由椭圆定义知
，故当
时，
取得最小值，

此时椭圆
的方程为
． ………………4分

（Ⅱ）设