湖北省沙市中学、沙市五中2016年高考仿真模拟联考

理数试卷

命题学校：沙市中学 命题教师： 审题教师：

考试时间：2016年5月21日下午15：00—17：00 试卷满分：150分

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答的答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集
，集合
，则
＝

A．{1,2,3} B．{1,2} C．{1} D．

2． 设
是虚数单位，
表示复数z的共轭复数．若
，则复数
在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为
，则|a＋b|＝

A．1 B．
C．
D．2

4．已知随机变量
，若
，则

A．
B．
C．
D．

5．已知函数

，则

A．
B．
C．
D．

6．执行如图所示的程序框图，则输出的
的值是

A．7 B．15 C．23 D．31

7．从数字0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的所有三位数中任取一个，则该三位数

能被5整除的概率为

A．
B．
C．
D．

8．古代数学著作《张丘建算经》有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”意思是：有一女子善于织布，织得很快，织的尺数逐日增多。已知她某月的第一天织布5尺，一个月共织9匹3丈（1匹=4丈，1丈=10尺），问这女子平均每天多织多少布？若一个月按30天计算，则该女子平均每天多织布的尺数为

A．
B．
C．
D．

9． 函数
是

A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为
的偶函数

C．最小正周期为
的奇函数 D．最小正周期为
的偶函数

10．不等式组
的解集记为D，
，有下面四个命题：

p1：
，
p2：
，

p3：
，
p4：
，

其中的真命题是

A．p1，p2 B．p1，p3 C．p1，p4 D．p2，p3

11．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
作圆
的切线分别交双曲线的左、右两支于点
，且
，则该双曲线的渐近线方程为

A．
B．
C．
D．

12．已知
为自然对数的底数，若对任意的
，总存在唯一的
，使得
成立，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

13．已知定义在R上的函数
满足
，当
时，
，则
．

14．已知
，则
．

15．如图，某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为 ．

16．在数列
中，
，且
．

记
，
，则
．

三、解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD＝
，

AC＝
，cos∠ADB＝－
．

（1）求sin∠C的值；

（2）若BD＝5，求△ABD的面积．

18．（本小题满分12分）

心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）

几何题

代数题

总计



男同学

22

8

30



女同学

8

12

20



总计

30

20

50



 （1）能否据此判断有97．5％的把握认为视觉和空间能力与性别有关?

（2）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，

记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．

附表及公式：

19．（本小题满分12分）

如图所示的几何体中，
为三棱柱，且
平面
，四边形
为平行四边形，
．

（1）若
，求证：
平面
；

（2）若
，二面角
的

余弦值为
，求三棱锥
的体积．

20．（本小题满分12分）

已知
是坐标原点，若椭圆
：
的离心率为
，右顶点为
，上顶点为
，
的面积为
．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）已知点
，
为椭圆
上两动点，若有
，证明：直线
恒过定点．

21．（本小题满分12分）

已知函数
（
为常数，
是自然对数的底数），曲线
在点
处的切线与
轴垂直．

（1）求
的单调区间；

（2）设
，对任意
，证明：
．

请考生在第22，23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．（本小题满分10分）选修
：几何证明选讲

如图，△ABC的两条中线
和
相交于点
，且
四点共圆．

（1）求证：
；

（2）若
，求
．

23．（本小题满分10分)选修
：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），在以原点为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
．

（1）求
的普通方程和
的倾斜角；

（2）设点
，
和
交于
两点，求
．

24．（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知函数
．

（1）求不等式
的解集
；

（2）设
，证明：
．

湖北省沙市中学、沙市五中2016年高考仿真模拟联考理数答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

A

B

D

D

C

C

A

D

C

D



13．4 14．64 15．
16．3

解：（1）因为
，
所以
…2分

又因为
，所以
．

所以

………………………6分

（2）在
中，由
，得
…9分

所以
………………12分

解：(1)由表中数据得
的观测值

………………………………3分

所以根据统计有
的把握认为视觉和空间能力与性别有关.……………5分

(2)
可能取值为
，……………………………………………………… 6分

的分布列为：

0

1

2













……………………10分

…………………………………12分

19．（1）证明：连接
交
于
，因为
，又
平面
，

所以
，所以
为正方形，所以
， …………………2分

在
中，
,由余弦定理得
，

所以
,所以

所以
，又
. 所以
平面
,所以
，

所以
平面
. ……………………………5分

（2）如图，分别以直线
为
建立

直角坐标系，则
，

,

设平面
的法向量为
，由

即
　解得
， 所以
，……… 8分

设平面
的法向量为
，

由
得
解得

…9分

由
得
…………………10分

所以
，此时，
，

所以
………………………12分

20.解：（1）由离心率
得
,又
，
，

又
，即
，则
，

故椭圆
的标准方程为
………………………………………5分

（2）①当直线
与
轴不垂直时，设直线
的方程为
，联立

消去y整理得
，

设
，则
………6分

故

=

得

即

整理得

直线
的方程为
，

故直线
超过定点
……………………………………………10分

②当直线
与
轴垂直时，若
，此时
两点的坐标为
，也有

=-2

综上，直线
恒过定点
………………………………………12分

21.（1）因为
，由已知得
，∴
．

所以
，……………………………………………… 2分

设
，则
，在
上恒成立，

即
在
上是减函数，

由
知，当
时
，从而
，

当
时
，从而
．

综上可知，
的单调递增区间是
，单调递减区间是
……5分

（2）因为
，要证原式成立即证
成立，

现证明：对任意
，
恒成立，

当
时，由（1）知
成立；

当
时，
，且由（Ⅰ）知
，∴