2015—2016学年下学期高三年级

最后一卷理数试卷

命题人：高三年级数学组

考试时间：2016年5月26日

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.定义集合
，若集合
集
，则集合
的子集个数为( )

A．
B．3 C．4 D．8个

2.若
（
为虚数单位）在复平面上的点不可能位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.已知定义域为
的奇函数
，则
的值为

A、0 B 1 C 2 D.不能确定

4.已知函数
的图象恒过定点A，设抛物线
上任意一点M到准线l的距离为d，则
的最小值为( )

A . 5 B.
C .
D .

5.执行如图所示的程序框图，其中输入的xi值依次为14，8，42，78，96， 74，49，35，39，50，则输出的
值依次为( )

A .78，96，74，49，50 B.78，96，74，39，50

C .78，96，74，50 D .78，96，74

6.下列说法正确的是( )

A . “
，方程
有正实根”的否定为“
，方程
有负实根”

B .命题“
，若
，则
”的逆否命题是“
，若
，且b≠0，则
”

C . 命题p：若回归方程为
，则y与x负相关；命题q：数据1，2，3，4的中位数是2或3．则命题p∨q为真命题

D .若X～N(1，4)，则
成立的一个充分不必要条件是t=1

7．已知函数
是偶函数，则下列结论可能成立的是 （ ）

A．
　B．
C．
　D．

8．命题
：“
”；命题
：“对任意的
，不等式
恒成立”，

则
是
的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，

其三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( )

A．
B．

C．
D．

10．从
中挑出三个不同数字组成五位数，则其中有两个数字各用两次（例如，
）的概率为( )

A．
B．
C．
D．

11.已知点
是双曲线
的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足
，则双曲线C的离心率的取值范围为( )

A.
B.
C.
D.

12、已知函数
的两个极值点分别为
，
，且

，
，点
表示的平面区域为
，若函数
（
）的图象上存在区域
内的点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知
，曲线

恒过点
，若
是曲线
上的动点，且
的最小值为
，则
.

14．已知函数
的图象与直线
以及x轴所围成的图形的面积为
，则
的展开式中的常数项为__________(用数字作答)．

15．已知变量
满足约束条件
则
的最小值为___________．

16.若数列
满足
，则称数列
为“差递减”数列．若数列
是“差递减”数列，且其通项
与其前n项和
满足
，则实数
的取值范围是__________．

解答题

17.如图，点P在△ ABC内，AB=CP=2，BC=3，∠ P+∠B=π，记∠B=α．

（I）试用α表示AP的长；

（II）求四边形ABCP的面积的最大值，并写出此时α的值．

18．（本小题满分12分）

语文成绩服从正态分布
，数学成绩的频率分布直方图如下：

（Ⅰ）如果成绩大于135的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）

（Ⅱ）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（Ⅰ）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有
人，求
的分布列和数学期望．

（附参考公式） 若
，则

，

．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
，侧面
是边长为
的等边三角形，点
是
的中点，且平面
平面
．

（Ⅰ）求异面直线
与
所成角的余弦值；

（Ⅱ）若点
在线段
上移动，是否存在点
使平面
与平面
所成的角为
？若存在，指出点
的位置，否则说明理由．

20.如图，曲线
由曲线
和曲线
组成，其中点
为曲线
所在圆锥曲线的焦点，点
为曲线
所在圆锥曲线的焦点，

（1）若
，求曲线
的方程；

（2）如图，作直线
平行于曲线
的渐近线，交曲线
于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线
的另一条渐近线上；

（3）对于（1）中的曲线
，若直线
过点
交曲线
于点C、D，求△CDF1 面积的最大值.

21、函数
其图像与
轴交于
两点，且
.

（1）求
的取值范围；

（2）证明：
； （
为
的导函数；）

（3）设点C在函数
图像上，且△ABC为等腰直角三角形，记
求
的值.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题10分）选修4-1： 几何证明选讲．

如图所示，已知
与⊙
相切，
为切点，过点
的割线交圆于
两点，弦
，
相交于点
，
为
上一点，且
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求
的长．

23.（本小题10分）选修4-4： 坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
经过点
，其倾斜角为
，以原点
为极点，以
轴非负半轴为极轴，与直角坐标系
取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）写出直线
的参数方程，若直线
与曲线
有公共点，求
的取值范围；

（Ⅱ）设
为曲线
上任意一点，求
的取值范围．

24.（本小题10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
，

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）若对任意
，都有
，使得
成立，求实数
的取值范围.

高三5-26理数答案

一、C D A C D D B A B B C C

二、13. 1 14、 --200 15、--2 16、
>

三、17.解：（1）△ABC与△APC中，AB=CP=2，BC=3，∠ B=α，∠ P=π﹣α，

由余弦定理得，AC2=22+32﹣2×2×3cosα，①

AC2=AP2+22﹣2×AP×2cos（π﹣α），②

由①②得：AP2+4APcosα+12cosα﹣9=0，α∈（0，π），

解得：AP=3﹣4cosα； ……………………………6分

（2）∵AP=3﹣4cosα，α∈（0，π），

∴S四边形ABCP=S△ABC﹣S△APC=
×2×3sinα﹣
×2×APsin（π﹣α）

=3sinα﹣（3﹣4cosα）sinα

=4sinα?cosα=2sin2α，α∈（0，π），

则当α=
时，Smax=2 ……………………….12分

18．解：（Ⅰ）语文成绩特别优秀的概率为
…1分

数学成绩特别优秀的概率为
……3分

语文成绩特别优秀人数为
人，

数学成绩特别优秀人数为
人 …………5分

（Ⅱ）语文数学两科都优秀的6人，单科优秀的有10人，

X所有可能的取值为0，1，2，3

……… 10分

分布列略 …………11分

数学期望
…………12分

19．解：（Ⅰ）因为平面
平面
，底面
是菱形，
，

故
取
中点
，则
，

以
为坐标原点，
为
轴，
为
轴建立平面直角坐标系，
，
,
,

,
,
…………2分

（Ⅰ）
，
，

则
，
，

设异面直线
与
所成角为
,

所以异面直线
与
所成角的余弦值为
……6分

(Ⅱ)设存在点
，使平面
与平面
所成的角为
，

设
，因为
三点共线，
，
，

所以，
，
，

设平面
的一个法向量为
，

令
，
．
…8分

设平面
的一个法向量为
，

令
，
．
,又
…………10分

若平面
与平面
所成的角为
，则
，

故
，即
，此时
，点
在
延长线上， 所以，在
边上不存在点
使平面
与平面
所成的角为
…………12分

20.解析：（1）
则
的方程为
和
。

（2）曲线
的渐近线为
,如图，设直线

则

又由数形结合知
，

设点
，则
，
，

，即点M在直线
上。

（3）由（1）知，曲线
，点
设
的方程为

设

令
，
，

，
，当且仅当
即
时等号成立

时，

解：（1）∵f（x）=ex﹣ax+a，∴f'（x）=ex﹣a，

若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．

∴a＞0，令f'（x）=0，则x=lna，当f'（x）＜0时，x＜lna，f（x）单调减，

当f'（x）＞0时，x＞lna，f（x）是单调增函数，于是当x=lna时，f（x）取得极小值，

∵函数f（x）=ex﹣ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），∴f（lna）=a（2﹣lna）＜0，即a＞e2，此时，存在1＜lna，f（1）=e＞0，存在3lna＞lna，f（3lna）=a3﹣3alna+a＞a3﹣3a2+a＞0，又由f（x）在（﹣∞，lna）及（lna，+∞）上的单调性及曲线在R上不间断，可知a＞e2为所求取值范围．

∵
，∴两式相减得
．记
，

则
，

设g（s）=2s﹣（es﹣e﹣s），则g'（s）=2﹣（es+e﹣s）＜0，∴g（s）是单调减函数，

则有g（s）＜g（0）=0，而
，∴
．

又f'（x）=ex﹣a是单调增函数，且
∴
．

（3）依题意有
，则
?xi＞1（i=1，2）．

于是
，在等腰三角形ABC中，显然C=90°，∴
，即y0=f（x0）