黄冈市2016年高三年级3月份质量检测

数学试题（理科）

黄冈市教育科学研究院命制 2016年3月14日下午3：00～5：00

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1·若复数z满足
i为虚数单位），则复数z=

A．1 B．2 C．i D．2i

2．设集合A={x| x>-l}，B={x| |x|≥1}，则“x∈A且x
B”成立的充要条件是

A. -l -1 D．-1< x

3．下列命题中假命题的是

A.
x0∈R,lnx0 <0 B．
x∈(-∞,0)，ex>x+1

C.
x>0,5x>3x D．
x0∈(0,+∞) ,x0

4．某射击手射击一次击中目标的概率是0.7，连续两次均击中目标的的概率是0.4，已知某

次射中，则随后一次射中的概率是

A．
B．
C．
D．

5．已知正项数列{an}中，a1=l，a2=2，
（n≥2）则a6=

A．16 B．4 C. 2
D．45

6．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的T是

A．1 B．2 C．3 D．4

7．将向量
=(x1，y1)，
=(x2，y2)，…
=(xn,yn)组成的系列称为向量列{
}，并定义向

量列{
}的前n项和
．如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项

的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列。若向量列{
}是等差向量

列，那么下述四个向量中，与S 一定平行的向量是

A.
B．
C.
D.

8．已知f(x) =Asin(
)(A>0，
>0，0<
<
)，其导函数

f'(x)的图象如图所示，则f（
）的值为

A.
B.

C．2
D．2

9．已知不等式组
表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2+ y2 =1的两条切线且切点分别为A，B，当∠PAB最小时，cos∠PAB=

A．
B．
C．一
D一

10．双曲线M：
=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1，F2，抛物线N：y2=2px( p>0)的

焦点为F2，点P为双曲线M与抛物线N的一个交点，若线段PF1的中点在y轴上，则

该双曲线的离心率为

A．
+1 B．
+1 C．
D．

11．如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上运动，且P到

直线BC与直线C1D1的距离相等。如果将正方体在平面内展

开，那么动点P的轨迹在展开图中的形状是

12．定义在区间(0，+∞)上的函数f(x)使不等式2f(x)

f’(x)为f(x)的导数，则

A．8<
<16 B．4<
<8 C．3<
<4 D．2<
<3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知向量a=（cosθ, sinθ），b=（1，一2），若a∥b，则代数式
= 。

14．在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位

男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为 ．

15．已知函数f(x) =ln(x+
），若正实数a，b满足f(2a)+f(b-l)=0，则
的

最小值是____。

16. 如图，在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2

+c2 +bc，a=
，S为△ABC的面积，圆O是△ABC的外接圆，P

是圆O上一动点，当S+
cosBcosC取得最大值时，
的最

大值为____．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知函数f(x) =2cosx(sinx-cosx)+m(m∈R)，将y=f(x)的图

像向左平移
个单位后得到y=g(x)的图像，且y=g(x)在区间[0,
]内的最大值为
．

(l)求实数m的值；

(Ⅱ)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若g(
B)=l，且a+c=2，求

△ABC的周长l的取值范围．

18．（本小题满分12分）

噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质m的严重问题，为了了解强度D(单

位：分贝)与声音能量I（单位： W/cm2）之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能

量Ii(i=1.2．…，10)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

(I)根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程D=a+blgI;

(Ⅱ)当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个

声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且
．已知点P的声音

能量等于声音能量Il与I2之和．请根据(I)中的回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干

扰，并说明理由．

附：对于一组数据（μl，ν1），（μ2，ν2），……（μn，νn），其回归直线ν=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

19.（本小题满分12分）如图几何体E- ABCD是四棱锥，

△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD-CE=1，

AB=AD=AE=
，且EC⊥ BD

(I)求证：平面BED⊥平面AEC;

(Ⅱ)M是棱AE的中点，求证：DM∥平面EBC;

(Ⅲ)求二面角D--BM-C的平面角的余弦值．

20.（本小题满分12分）

如图，已知点F1，F2是椭圆Cl：
+y2 =1的两个焦点，椭圆C2：
+y2 =
经过点F1，

F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别

是A，B和C，D．设AB、CD的斜率分别为k，k'.

（I）求证kk'为定值；

(Ⅱ)求|AB|·|CD|的最大值．

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x) =lnx-mx+m．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(II)若f(x)≤0在x∈(0，+∞)上恒成立，求实数m的取值范围；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，对任意的0

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22.（本小题满分10分）选修4—1：平面几何选讲

如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF

垂直BA的延长线于点F．

求证：(I)∠DFA=∠DFA;

(Ⅱ)AB2= BE·BD-AE·AC

23.（本小题满分10分）选修4--4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为

(I)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(Ⅱ)过点P(0，2)作斜率为l直线l与曲线C交于A，B两点，试求
的值．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)=|x+1|，g(x)=2|x|+a.

（I）当a=0时，解不等式f(x)≥g(x);

(Ⅱ)若存在x=∈R，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．

黄冈市2016年高三3月调考数学答案（理科）

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

D

D

C

B

C

B

C

B

B

B

B





二、填空题

13. 3 14. 60 15. 3+2
16.

17．解：（Ⅰ）由题设得
，

，

因为当
时，
，

所以由已知得
，即
时，
，

所以
； ………6分

（Ⅱ）由已知
，因为三角形中
，

所以
，所以
，即
，

又因为
，由余弦定理得：

，

当且仅当
时等号成立，

又
，
，所以
的周长
，

故△ABC的周长l的取值范围是
． ………12分

18.【解析】（Ⅰ）令
，先建立
关于
的线性回归方程，由于

，

∴
关于
的线性回归方程是：
……5分

∴
关于
的回归方程是：
. ……6分

（Ⅱ）点
的声音能量
，
，

，……10分

根据（Ⅰ）中的回归方程，点
的声音强度
的预报值：

，

∴点
会受到噪声污染的干扰. ……12分

19.解（1）由于
为正三角形，∠BCD=120o，CB=CD=CE=1，

故连接AC交BD于O点，则AC⊥BD，又∵EC⊥BD，EC∩AC=C，

故BD⊥面ACE，所以平面BED⊥平面AEC…………3分

（2）取AB中点N，连接MN，ND，则MN∥EB，且MN不在面EBC内，

所以MN∥平面EBC；而DN⊥AB，BC⊥AB，

所以DN∥BC，且DN不在面EBC内，故DN∥平面EBC，

综上所述，平面DMN∥平面EBC，所以DM∥平面EBC…………7分

（3）由（1）知AC⊥BD，且CO=
，AO=
，连接EO，则
，故EO⊥AC；

又因为O是BD中点，故EO⊥BD，故如图建立空间直角坐标系，则B（0, , 0），

D（0，
，0），C（
，0，0），M（
，0，
）
,

设DBM的法向量
，则由
得

同理的平面CBM的法向量
，故二面角D-BM-C的平面角的余弦值为

…………12分

20.解：（Ⅰ）因为点
是椭圆
的两个焦点，故
的坐标是
；

而点
是椭圆
上的点，将
的坐标带入
的方程得，

设点
的坐标是：
，直线
和
分别是
.

（1）

又点
是椭圆
上的点，故
（2）

联合（1）（2）两式得
（3）…….…… 4分

（Ⅱ）直线
的方程可表示为：
(
) （4）

结合方程（4）和椭圆
的方程，得到方程组

（5）……. 5分

由方程组（5）得
（6）

依韦达定理知，方程（6）的两根满足

（7）……. 6分

依（7）式得

.(8) ……. 8分

同理可求得
(9) ……. 10分

由（8）（9）两式得

当且仅当
时等号成立.故
的最大值等于
. …….12分

21. 解：（Ⅰ）
，

当
时，
恒成立，则函数
在
上单调递增，

此时函数
的单调递增区间为
，无单调递减区间；

当
时，由
，得
，

由
，得
，

此时
的单调递增区间为
，单调递减区间为
…………… 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当m≤0时，f（x）在
上递增，f（1）=0，显然不成立；

当m＞0时，

只需
即可， 令
，

则
，

得函数
在（0,1）上单调递减，在
上单调递增．

∴

对
恒成立，也就是
对
恒成立，

∴
，解
，

∴若
在
上恒成立，则
…………… 8分

（Ⅲ）证明：
，

由（Ⅱ）得
在
上恒成立，

即
，当且仅当
时去等号，又由
得
，

所以有
， 即
．

则
，

则原不等式
成立 …………… 12分

22.证明：(1)连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠EFA=90°，则A、D、E、F四点共圆，∴∠DEA=∠DFA；……5分

(2)由(1)知，BD·BE=BA·BF，?又△ABC∽△AEF，∴