2016年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试卷

理 科

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知复数
(其中是虚数单位,满足
,则
的共轭复数是（ ）

A.
B.
C.
D.

3．已知命题p：
x1，x2
R，(f(x2) f(x1))(x2x1)≥0，则p是（ ）

A、
x1，x2
R，(f(x2) f(x1))(x2x1)≤0

B、
x1，x2
R，(f(x2) f(x1))(x2x1)≤0

C、
x1，x2
R，(f(x2) f(x1))(x2x1)<0

D、
x1，x2
R，(f(x2) f(x1))(x2x1)<0

4.若
，
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，

则输入
的取值范围是（ ）

A．(4, 10] B．(2，+∞)C．(2， 4] D．(4，+∞)

6. 有关以下命题：

①用相关指数
来刻画回归效果，
越小，说明模型的拟合效果越好；

②已知随机变量
服从正态分布
，
则
；

③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60；其中正确的命题的个数为（ ）

　 A. 3个　　　 B. 2个　　 　C. 1个　　　 D. 0个

7.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

8.设
满足约束条件
,若目标函数
的

最大值为
,则实数
的值为（ ）

A.
B. C.
D.

9．已知等差数列
的公差
，且
成等比数列，若
，
为数列
的前
项和，则
的最小值为（ ）A．
B．
C．
D．

10. 过双曲线
的右焦点
作直线
的垂线,垂足为
,交双曲线的左支于
点,若
,则该双曲线的离心率为（ ）

A.
B.2 C.
D.

11. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数
的不足近似值和过剩近似值分别为
和

，则
是
的更为精确的不足近似值或过剩近似值。我们知道
，若令
，则第一次用“调日法”后得
是
的更为精确的过剩近似值，即
，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得
的近似分数为（ ）

A.
B.
C.
D.

12.已知函数
，
，当
时，方程

根的个数是（ ）A、
B、
C、
D、

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置。

13.二项式
的展开式中的常数项为 ．

14．圆心在直线
上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为 .

15. 已知直角梯形
，
∥
，
．
，
，
是腰
上的动点，则
的最小值为_______．

16．设函数
的图象上存在两点
，使得
是以
为直角顶点的直角三角形（其中
为坐标原点），且斜边的中点恰好在
轴上，则实数
的取值范围是 .

解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（本小题满分12分）已知数列
为公差不为零的等差数列，
，且满足
.（1）求数列
的通项公式；

(2)若数列
满足
，且
，求数列
的前
项和
。

18.（本小题满分12分）





















5

7

7

8

9

9

9









6

1

2

4

5

8

8

9

9





7

0

2

3

4

5

5

6

6

8



8

0

1

1

2

4

7









9

1



















 2015年7月31日，国际奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季奥运会(简称冬奥会)在北京和张家口两个城市举办. 某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛. 随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图，若规定成绩在75分以上(包括75分)的学生定义为甲组，成绩在75分以下(不包括75分)定义为乙组.

(1) 在这30名学生中，甲组学生中有男生7人，乙组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；

(2) ①. 如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在甲组的概率是多少？

②. 用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学(人数很多)中随机选取3人，用
表示所选3人中甲组的人数，试写出
的分布列，并求出
的数学期望.附：
；

独立性检验临界表：

0.100

0.050

0.010



K

2.706

3.841

6.635





19. （本小题满分12分）

如图，已知
平面ACD，DE//AB，
是正三角形，

AD=DE=2AB，且F是CD的中点.

(1)求证：AF//平面BCE；

（2）求证：平面BCE
平面CDE；

（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.

20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
内，动点
到定点
的距离与
到定直线
的距离之比为
．（1）求动点
的轨迹
的方程；

（2）设点
、
是轨迹
上两个动点，直线
、
与轨迹
的另一交点分别为
、
，且直线
、
的斜率之积等于
，问四边形
的面积
是否为定值？请说明理由．

（本小题满分12分）

已知函数
（1）、求函数
的单调区间；

若
时，
恒成立，求实数
的取值范围。

选做题

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．

23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2asinθ (a﹥0)．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为
（t为参数）。(I)求圆C的标准方程和直线l的普通方程；

(II)若直线l与圆C交于A，B两点，且
。求实数a的取值范围？

24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

已知函数
.(I)当
时，解不等式
＞5;

(II)若
，求a的最小值．

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试卷

理 科参考答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

A

C

A

A

D

D

A

A

C

A

B





24 14、
15、 3 16、

解：(1)设等差数列
的公差为
，则

解得
(2)由

当
时，

=
8分

对
也适合，
10分

12分

18、解：(1) 作出
列联表：

甲组

乙组

合计



男生

7

6

13



女生

5

12

17



合计

12

18

30



由列联表数据代入公式得
，因为1.83<2.706，故没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关. 6分

(2) ①. 用A表示“至少有1人在甲组”，则
. 8分

②. 由题知，抽取的30名学生中有12名学生是甲组学生，抽取1名学生是甲组学生的概率为
，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是
，又因为所取总体数量较多，抽取3名学生可以看出3次独立重复实验，于是
服从二项分布
.

显然
的取值为0，1，2，3. 且
.

所以得分布列为：

0

1

2

3

















数学期望
12分

19、

20、解（1）设
，由题意，
， ……………………………（2分）

化简得
，…（3分）所以，动点
的轨迹
的方程为
． （4分）

（2）解：设
，
，则由
，得
，（1分）

，因为点
、
在椭圆
上，所以
，
，所以，

，化简得
． 2分

①当
时，则四边形
为矩形，
，则
，

由
，得
，解得
，
，

． ……………………………………（3分）

②当
时，直线
的方向向量为
，直线
的方程为

，原点
到直线
的距离为
所以，△
的面积
，

根据椭圆的对称性，四边形
的面积

，……（4分）

所以，

，所以
．

所以，四边形
的面积为定值
． ……………………………………（6分）

21、
当
时，
恒成立，此时
在R上递增；当
时，由

；由
。

此时
在
上递减，在
上递增。 4分

令