岳阳市2016届高三教学质量检测试题(二)

数 学（理科）

命题人 云溪区一中 许云章

满分：150分 时量：120分钟

说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知全集
,
,
则
=( )

A.{2,3}　　 B.{5,6} C.{1,4,5,6} D.{1,2,3,4}

2．已知
,则“
”是“复数
为虚数单位)为纯虚数”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3．阅读下边程序框图，若输出的数据为30，则判断框中应填入的条件为（ ）

A.
　　 B.
　　 C.　
　　D.

4．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）.

A.
　　　B.
　　 C.
D.

第3题图

5.已知函数
的图象关于点
对称，则
的值可以是( )

A.
B.
C.
D.

6.已知△
的三个内角
所对的边分别为
,如果满足条件:
,则
（ ）

A
B
C
D.

7．若二项式
的展开式中各项系数的和是
,则展开式中的常数项为(　 )

A.
　　 B.
　 C.
　 D.

8．变量
满足约束条件
，则目标函数
的取值范围是 ( )

A
B
C
D

9.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为
， 底面边长为
，则该球的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都相等为
，前2局中乙队以2:0领先，则最后乙队获胜的概率是（　　）

A.
B.
C.
D.

11.设
，
分别为双曲线
：

的左、右焦点，
为双曲线的左顶点，以
为直径的圆交双曲线某条渐近线于
、
两点，且满足：
，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．定义在
上的连续函数
对任意的
都有
,且其导函数
满足
,则当
时,有（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

13．若向量
=（1,1），
＝（-1,2），则
·
等于_____________.

14．计算：
____________ .

15．抛掷两颗质地均匀骰子，向上一面的点数之和为
，则
的期望
____ .

16．直线
与抛物线
、圆
从左至右的交点依次为
，则
的值为 ____________ .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

公差不为零的等差数列
中，
成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列
的前
项和为
，且满足
.

（I）求数列
，
的通项公式；

（II）令
，数列
的前
项和为
，求
的取值范围.

18．（本小题满分12分）

如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，

AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点.

(Ⅰ)证明：B1C1⊥CE；

(Ⅱ)求二面角B1－CE－C1的正弦值；

(Ⅲ)设点
在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段
的长.

19．（本题满分12分）某公司对新研发的一种产品进行试销，得到如下数据及散点图：

利润
(元/kg)

10

20

30

40

50

60



年销量
（kg）

1150

643

424

262

165

86





14.1

12.9

12.1

11.1

10.2

8.9





其中
，

，
，
，

，

(Ⅰ)根据散点图判断，
与
、
与
哪一对具有较强线性相关性？(给出判断即可，不必说明理由)

（Ⅱ）根据(Ⅰ)的判断结果及数据，建立
关于
的回归方程(方程中的系数均保留两位有效数字)

（Ⅲ）利润为多少元/kg时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

,

20. （本题满分12分）

已知动点
与双曲线
的两个焦点
、
的距离之和为定值，且

的最小值为
．

（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）已知
，若
、
在动点
的轨迹
上,且
，求实数
的取值范围．

21.（本小题满分12分）

已知函数
，函数
在
处的切线
与直线
垂直.

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若函数
存在单调递减区间，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）设
是函数
的两个极值点，若
，求
的最小值.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】

在
中，
，过点
的直线与其外接圆交于点
，交
延长线于点
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求
的值．

23.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标与参数方程】

在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），直线
与曲线
：
交于
，
两点.

（Ⅰ）求
的长；

（Ⅱ）在以
为极点，
轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点
的极坐标为
，求点
到线段
中点
的距离.

24.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

设函数

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）存在
，使得
，求实数
的取值范围.

岳阳市2016届高三教学质量检测试题(二)

数 学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

B

B

D

D

B

A

A

C

C

A



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

13． _1__ 14． _
__ 15． _7 。 16． _16

17.

又
，故
----------4分

18. 方法一　如图，以点A为原点，以AD，AA1，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0). ------------3分

(1)证明　易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，

所以B1C1⊥CE. ------------5分

(2)解　＝(1，－2，－1).

设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，

则即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1). ------------6分

由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量. ------------7分

于是cos〈m，〉＝＝＝－，------------8分

从而sin〈m，〉＝，所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.----9分

(3)解　＝(0,1,0)，＝(1,1,1)，设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ).

可取＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量. ------------10分

设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则

sin θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，------------11分

于是＝，解得λ＝(负值舍去)，所以AM＝.------------12分

方法二　(1)证明　因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1.

经计算可得B1E＝，B1C1＝，EC1＝，

从而B1E2＝B1C＋EC，

所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，------------2分

又CC1，C1E?平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，所以B1C1⊥平面CC1E，

又CE?平面CC1E，故B1C1⊥CE. ------------4分

(2)解　过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G.

由(1)知，B1C1⊥CE，故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1为二面角B1－CE－C1的平面角. ------------6分

在△CC1E中，由CE＝C1E＝，CC1＝2，可得C1G＝.

在Rt△B1C1G中，B1G＝，所以sin ∠B1GC1＝，

即二面角B1－CE－C1的正弦值为.------------8分

(3)解　连接D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连接AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.

设AM＝x，从而在Rt△AHM中，有

MH＝x，AH＝x.

在Rt△C1D1E中，C1D1＝1，ED1＝，

得EH＝MH＝x. ------------10分

在△AEH中，∠AEH＝135°，AE＝1，

由AH2＝AE2＋EH2－2AE·EHcos 135°，

得x2＝1＋x2＋x，整理得5x2－2x－6＝0，解得x＝(负值舍去).

所以线段AM的长为.------------12分

19.解：（Ⅰ）由散点图知，
与
具有较强线性相关性，且-------2分

（Ⅱ）
--------------4分

--------------5分

--------------6分

y关于x的回归方程为：
--------------7分

（Ⅲ）年利润
--------------9分

由
得
--------------11分

所以定价