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准考证号

益阳市2016届高三4月调研考试

文科数学（试题卷）

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页．

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置．

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效．

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，则

A．
B．
C．
D．

2．函数
的最大值为

A．-1 B．1 C．2 D．3

3．已知
，
，且
，则
等于

A．2 B．－2 C． D．－

4．已知
是虚数单位，则复数
的虚部是

A．0 B．
C．
D．1

5．设
，则

A．
B．
C．
D．

6．已知命题
，则
是
的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

7．如右图，一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东

偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座

灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处

观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是

A．
海里 B．
海里

C．
海里 D．
海里

8．若某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的

表面积是

A．60 B．54

C．48 D．24

9．已知双曲线的一个焦点与抛物线
的焦点重合，且其渐近线的方程为
，则该双曲线的标准方程为

A．
B．

C．
D．

10．执行如右图所示的程序框图，若输出z的值为

256，则判断框内可填入的条件是

A．
B．

C．
D．

11．若实数
满足不等式组
则
的最大值是

A．10 B．11 C．13 D．14

12．若曲线

与曲线
存在公共切线，则实数
的取值范围为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分．第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答．第22题~24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．椭圆
的离心率＝__ ____．

14．设实数
在
上随机地取值，则关于
的方程
有实根的概率为 ．

15．已知奇函数
，则
的值为___________．

16．已知菱形
的边长为2，
,
为
的中点，若
为该菱形内任意一点（含边界）,则
的最大值为___________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)

　　为了了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定采用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、18人、36人.

（Ⅰ）求从三个年级的家长委员会中分别应抽取的家长人数；

（Ⅱ）若从抽得的6人中随机抽取2人进行抽查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长委员的概率.

18．(本小题满分12分)

　　已知数列
是公比不为
的等比数列，
，且
成等差数列.

（Ⅰ）求数列
的通项;

（Ⅱ）若数列
的前
项和为
，试求
的最大值.

19．(本小题满分12分)

　　如图，在直三棱柱
中，
，且
．

（Ⅰ)求证：平面
⊥平面
；

（Ⅱ)设
是
的中点，判断并证明在线段
上是否存在点
，

使
//平面
；若存在，求三棱锥
的体积．

20．(本小题满分12分)

　　如图，已知以点
为圆心的圆与直线
相切，过点
的动直线
与圆
相交于
,
两点，
是
的中点,直线
与
相交于点
.

（Ⅰ）求圆
的方程；

（Ⅱ）当
时,求直线
的方程；

（Ⅲ）
是否为定值？如果是，求出该

定值；如果不是，说明理由.

2l．（本小题满分12分）

已知函数
，且对任意
，都有
．

（Ⅰ）求
的关系式；

（Ⅱ）若
存在两个极值点

，求
的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明
，并指出函数
零点的个数（要求说明理由）．

请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

　　如图，AB是圆O的直径，PB是圆O的切线，过A点作AE∥OP交圆O于E点， PA交圆O于点F，连接PE.

（Ⅰ）求证：PE是圆O的切线；

（Ⅱ）设AO=3,PB=4,求PF的长.

23.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

　　已知曲线C1的参数方程是
（
为参数），以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是
.

（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）设P为曲线C1上任意一点，Q为曲线C2上任意一点，求|PQ|的最小值.

24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

设不等式
的解集为M, a,b
M．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）比较
与
的大小．

益阳市2016届高三4月调研考试

文科数学参考答案

一、选择题（5分×12=60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

D

A

D

C

A

A

A

B

C

D

C





二、填空题（5分×4=20分）

13、 14、
15、
16、

三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

解（I）家长委员会总人数为54+18+36=108，

样本容量与总体中的个体数比为
， ................3分

所以从三个年级的家长委员会中分别应抽取的家长人数为3，1，2..............6分

（II）设A1，A2，A3为从高一的家长委员会中抽得的3个家长，

B1为从高二的家长委员会中抽得的1个家长，

C1，C2为从高三的家长委员会中抽得的2个家长，

从抽得的6人中随机抽取2人，

全部的可能结果有15种， .......................9分

这2人中至少有一人是高三的家长委员会的结果有

（A1，C1），（A1，C2），（A2，C1），（A2，C2），（A3，C1），（A3，C2），

（B1，C1），（B1，C2），（C1，C2），一共有9种．

所以所求的概率为
． ......................12分

18.（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）设
的公比为
，因为
成等差数列，所以
，

因为
，所以
，因为
，

所以
， .......................3分

所以
.......................6分

19.（本小题满分12分）

解：（I）证明：在直三棱柱
中，有
平面
.

∴
， 又
， ∴
． …………4分

又BC1⊥A1C，∴A1C⊥平面ABC1 ， 则平面ABC1⊥平面A1C ． …………6分

（II）方法一：取
中点F，连EF，FD，当E为
中点时，EF∥AB,
∥
, 即平面
∥平面
，则有
∥平面
. …………10分

当E为中点时，
=
…………12分

方法二：A1C交AC1于G点连BG，当E为中点时，有
，则有DE∥BG，

即
∥平面ABC1，求体积同上．

20.（本小题满分12分）

21.（本小题满分12分）

(3)设

,则

,

在区间
单调递减,
.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号．

22.解：(Ⅰ)连接OE，∵OA=OE,

∴∠OAE=∠OEA,

∵AE∥OP,

∴∠OAE=∠BOP, ∠OEA=∠EOP,

∴∠BOP=∠EOP,又OB=OE,OP=OP,

∴△BOP≌△EOP,

∴∠OEP=∠OBP,

∵PB是圆O的切线,∴∠OBP=90°,

∴PE是圆O的切线. ……………………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知△ABP 是直角三角形，

∵AB=2AO=6,PB=4,

∴PA=
,

∵PB是圆O的切线,

∴PB2=PF·PA,

PF=
. ……………………10分

23. 解：(Ⅰ)将
代入
得：

曲线C2的直角坐标方程为
. ………4分

(Ⅱ)由题意可知|PQ|的最小值即为P到直线
的距离的最小值，

=

所以|PQ|的最小值为
. ………10分

24.解：当
时，原不等式可化为
，显然不成立；

当
时，原不等式可化为
，解得
；

当
时，原不等式可化为
显然不成立。

综上所述，原不等式的解集为
．…………3分

（Ⅰ）证明：
，

所以
，

两式相加得
，即
．…………6分

（Ⅱ）

，

，，

所以
，所以
，

所以
． …………10分

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