箴言中学2016届高三第十次模拟考试

数学试题（文科）

时间：120分钟，满分：150分 命题人：谢立荣老师

祝同学们考试顺利！

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合

，则

2.已知复数
满足
，则
的共轭复数对应的点在（ ）

第一象限
第二象限
第三象限
第四象限

3. “
”是“直线
:
与
:
平行”的（ ）

充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分又不必要条件

4. 向量
满足
则向量
与
的夹角为（ ）

Ａ．
　　　 Ｂ．
　　　　Ｃ．
　　　　　　 Ｄ．

5．若变量
满足条件
，且
的最小值为-6，则
=（ ）

6. 设等比数列
前
项和为
，若
，则
＝( )

A.－
　　B.
　　C.
　　 D.

7. 如图:圆C内切于扇形AOB，∠AOB＝
，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（ ）

A．
B．

C．
D．

8.按如下程序框图运算，若输出结果为170，则判断框内应填入的条件为（ ）

9.已知：函数
的图像向右平移
个单位后与函数
的图像重合，则
可以为（ ）

10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )

　

　

11.已知：函数
的图像在
处的切线恰好是双曲线
的一条渐近线，则双曲线的离心率为（ ）

12.已知：函数
，对任意
，都有
成立，则实数
的取值范围是（ ）

二．填空题; 本大题共4小题，每小题5分。

13. 已知：函数
，若实数
满足
，则
______

14.已知点
在直线
上，则
=

15. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．

16. 已知
是抛物线
上的任意点，过点
作圆
的两条切线，切点分别为
，连
，则四边形
的面积最小值时，点
的坐标为

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

如图：在
中，
为
边上一点，
，已知
，

若
为锐角三角形，
，求角
的大小；

若
的面积为
，求边
的长。

18. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是菱形，
，
,

为
与
的交点，
为棱
上一点．

（1）证明：平面
⊥平面
；

(2)若
是线段
中点,求点
到平面
的距离.

19.（本小题满分12分）

某学校为了了解学生使用手机的情况，分别在高一和高二两个年级各随机抽取了100名学生进行调查. 下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频率分布直方图和频数分布表，将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”.

（Ⅰ）将频率视为概率，估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大？请说明理由.

（Ⅱ）在高一的抽查中，已知随机抽到的女生共有55名，其中10名为“手机迷”. 根据已知条件完成下面的
列联表，并据此资料判断是否有90%的把握认为“手机迷”与性别有关？说明理由。

非手机迷

手机迷

合计



男









女









合计









附：随机变量
(其中n=a+b+c+d为样本总量).

参考数据



0.15

0.10

0.05

0.025







2.072

2.706

3.841

5.024





20. （本小题满分12分）

已知直线
，圆
，椭圆
的离心率
，直线
被圆
截得的弦长与椭圆的短轴长相等．

(1)求椭圆
的方程；

(2)过圆
上任意一点
作椭圆
的两条切线，若切线都存在斜率，

求证：两条切线斜率之积为定值．

21. （本小题满分12分）

已知函数

(1)讨论函数
的极值点的个数；

(2)若
有两个极值点
，证明：
.

选做题：请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

　　如图所示，
为圆
的直径，
，
为

圆
的切线，
，
为切点.

　 （Ⅰ）求证：
；

　 （Ⅱ）若圆
的半径为2，求
的值.

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，圆
的参数方程为
（
为参数）.

（Ⅰ）以原点为极点、
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆
的极坐标方程；

（Ⅱ）已知
，圆
上任意一点
，求△
面积的最大值.

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数
的最大值为
.

（1）求
；

（2）若
，求
的最大值.

文科数学参考答案：

一选择题：

1-6 A B A B D C 7-12 C C D D B B

二．填空题：

13. [2] 14. 【
】 15. [
] 16.

三．解答题：

17. 解：（1）在
中，由正弦定理得
，
，

又
为锐角三角形，所以，
，
，
，

所以
，
。…………5分

（2）
，所以，
，所以
，在
中由余弦定理得
，

所以

…………12分

18. 【答案】证明:(1)
平面
,
平面
,
.

四边形
是菱形,
,又
,
平面
.

而
平面
,
平面
⊥平面
.

是
中点，连结
，则
，
平面
，且
.

，

设点
平面
的距离为
，

19. 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，高一学生是“手机迷”的概率为

（2分）

由频数分布表可知，高二学生是“手机迷”的概率为
（4分）

因为
，所以高一年级的学生是“手机迷”的概率大. （5分）

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，

“手机迷”有
（人），非手机迷有
（人）. （6分）

从而
列联表如下：

非手机迷

手机迷

合计



男

30

15

45



女

45

10

55



合计

75

25

100



 （8分）

将
列联表中的数据代入公式计算，得

（11分）

因为
，所以有
的把握认为“手机迷”与性别有关. （12分）

20. 解：(1)设椭圆半焦距为c，圆心O到l的距离d＝＝，………………2分

则l被圆O截得的弦长为2，所以b＝.………………3分

由题意得又b＝，∴a2＝3，b2＝2. ………………4分

∴椭圆E的方程为＋＝1. ………………5分

(2)证明：设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，

整理得y＝kx＋y0－kx0，联立直线l0与椭圆E的方程得

消去y得2[kx＋(y0－kx0)]2＋3x2－6＝0，………………7分

整理得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，

∵l0与椭圆E相切，∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，

整理得(2－x)k2＋2x0y0k－(y－3)＝0，………………9分

设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，

则k1k2＝－.………………10分

∵点P在圆O上，∴x＋y＝5，∴k1k2＝－＝－1. ………………11分

∴两条切线斜率之积为常数－1. ………………12分

21. 解：(1)由
得，

（ⅰ）
时，

所以
取得极小值，
是
的一个极小值点。

（ⅱ）
时，
，令
，得

显然，
，所以
，
在
取得极小值，

有一个极小值点。

（ⅲ）
时，
时，即