箴言中学2016届高三第十次模拟考试

数学试题（理科）

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则M∩N＝ (　　)

Ａ．{0} Ｂ．{0，1} Ｃ．{0，2} Ｄ．{1，2}

2．下列说法中正确的是 (　　)

Ａ．“x＞5”是“x＞3”的必要不充分条件

Ｂ．命题“对(x∈R，恒有x2＋1＞0”的否定是“(x∈R，使得x2＋1≤0”

Ｃ．(m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数

Ｄ．设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题

3．设a＋b＜0，且b＞0，则 (　　)

Ａ．b2＞a2＞ab Ｂ．b2＜a2＜－ab Ｃ．a2＜－ab＜b2 Ｄ．a2＞－ab＞b2

4．函数y＝x2－2lnx的单调递减区间是 (　　)

Ａ．[1，＋∞) Ｂ．(0，1]

Ｃ．(－∞，－1]，(0，1] Ｄ．[－1，0)，(0，1]

5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于(　　)

Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．4 Ｄ．12

6．已知
＝
(α为锐角)，则sinα＝(　 )

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

7．已知双曲线
的左顶点与抛物线
的焦点的距离为
,且双曲线的一条渐近线与抛物

线的准线的交点坐标为
,则双曲线的方程为(　　)

A．
B．

C．
D．

8．如图给出的是计算
的值的一个程序框图，则图

中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是(　　)

A．
B．

C．
D．

9. 如图，在等腰梯形
中，
. 点
在

线段
上运动，则
的取值范围是 (　　)

A.
B.
C.
D.

10．已知实数x，y，z满足：x＋y－6＝0，z2＋9＝xy，则x2＋
＝ (　　)

Ａ．6 Ｂ．12 Ｃ．18 Ｄ．36

11．集合A，B的并集A∪B＝{a1，a2，a3，a4}，当A≠B时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数为 (　　)

A. 12 B. 24 C. 64 D. 81

12.直线
与
轴的交点分别为
, 直线
与圆
的交点为
. 给出下面三个结论：

①
； ②
；③

则所有正确结论的序号是 (　　)

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.
的展开式中常数项为 .

14．一个四面体，其中一个顶点A的三个角分别为60°，θ，90°，其中tanθ＝2，则θ角与60°角所在面的二面角的余弦值为 .

15．已知点
，其中
满足
，则
的取值范围 ，
的最大值是 ．

16. 正整数
，
满足
，若关于
，
的方程组
有且只有一组解，则
的最大值为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）已知函数
的部分图象如下图所示，

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）在
中，角A，B，C对的边分别为a,b,c，若
在
上的最大值为c,且C=60°，求
的面积
的最大值．

18．(本小题满分12分)

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P–ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝
，BC＝6．

(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；

(Ⅱ)求二面角P–BD–A的大小．

19．(本小题满分12分)

厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．

(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；

(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望E(ξ)，并求该商家拒收这批产品的概率．

20．（本小题满分12分）已知椭圆
的上顶点为
，且离心率

为
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）从椭圆
上一点
向圆
引两条切线，切点为
，当直线
分别与
轴，
轴交于
两点时，求
的最小值．

21．(本小题满分12分)

已知f(x)＝
(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数．

(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A；

(Ⅱ)设关于x的方程f(x)＝
的两个非零实根为x1，x2．试问是否存在实数m，使得不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分。

22. (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲

已知
为圆
上的四点，直线
为圆
的切线，

为切点，
，
与
相交于
点．

（1）求证：
平分
；

（2）若
，求
的长．

23. (本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,以原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取

相同的长度单位．已知曲线
的极坐标方程为
,直线
的参数方程为

（
为参数,
为直线的倾斜角）．

（1）写出直线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；

（2）若直线
与曲线
有唯一的公共点,求角
的大小．

24. (本小题满分10分)选修4-5不等式选讲

已知
，
．

（1）求
的最小值；

（2）若
的最小值为
，求
的最小值．

2016届高三十模试题卷

理 科 数 学答案

一、选择题

1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.C 10.B 11.D 12.C

二、填空题

13.
14.
15. 
9 16. 2016

三、解答题

17. （Ⅰ）
； ………………………6分

（Ⅱ）结合图像可知
，由余弦定理得
，

，

所以
的面积
的最大值为
…………………12分

18. (Ⅰ)以A为原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建系，则

A(0，0，0)，B(
，0，0)，C(
，6，0)，D(0，2，0)，P(0，0，3)，

∴
＝(0，0，3)，
＝(
，6，0)，
＝(－
，2，0)，

∴
·
＝0，
·
＝0，

∴BD⊥AP，BD⊥AC，AP∩AC＝A，∴BD⊥平面APC． (6分)

(Ⅱ)设平面ABD的法向量为m＝(0，0，1)，平面PBD的法向量为n＝(x，y，1)，

由
(
(
∴n＝
，∴cos(m，n(＝
．

所以二面角P–BD–A的大小为60°． (12分)

19. (Ⅰ)记“任取4件产品，至少有1件是合格品”为事件A，则

P(A)＝1－
＝1－(0.2)4＝0.9984． (4分)

(Ⅱ)ξ可能的取值为0，1，2，

P(ξ＝0)＝
＝
，P(ξ＝1)＝
＝
，P(ξ＝2)＝
＝
，

所以ξ的分布列为

ξ

0

1

2



P









E(ξ)＝0×
＋1×
＋2×
＝
． (10分)

记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率

P＝1－P(B)＝1－
＝
；所以商家拒收这批产品的概率为
． (12分)

20.解：（1）
，所以椭圆
的方程为
；

……4分（2）设点
的坐标分别为
，过点
的圆的切线方程为

，过点
的圆的切线方程为
，两条切线都过点
，所以

，
，则切点弦
的方程为
，……7分，由题意知
，所以
，

，当且仅当
时取等号，

所以
的最小值为
．……12分

21. (Ⅰ)f((x)＝
＝
，因为f(x)在区间[－1，1]上是增函数，所以f((x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立，设φ(x)＝x2－ax－2，φ(1)＝1－a－2≤0，φ(－1)＝1＋a－2≤0(－1≤a≤1．

因为对x∈[－1，1]，f(x)是连续不断的，且只有当a＝1时，f((－1)＝0以及当a＝－1时，f((1)＝0，所以A＝{a|－1≤a≤1}． (6分)

(Ⅱ)由
＝
，得x2－ax－2＝0，∵(＝a2＋8＞0，∴x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两非零实根，有x1＋x2＝a，x1x2＝－2，∴|x1－x2|＝
＝
．

因为－1≤a≤1，所以|x1－x2|＝
≤3．要使不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，当且仅当m2＋tm＋1≥3，即m2＋tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立，所以
(m≥2或m≤－2． (11分)

所以，存在实数m，使得不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

m的取值范围是{m|m≥2或m≤－2}． (12分)

22. （1）
，

又
切圆
于点
，
，

，而
，
，即BD平分∠ABC；……5分

（2）由（I）知
，又
，

又
为公共角，∴
与
相似，
，

∵AB＝4，AD＝6，BD＝8，∴
．……10分

23. （1）当
时,直线
的普通方程为
；当
时,直线
的普通方程为
. ……2分 由
,得
,所以
,即为曲线
的直角坐标方程. ……4分

（2）把
,
代入
,整理得
.

由
,得
,所以
或
,

故直线
倾斜角
为
或
. ……10分

24. （1）∵
，∴
在
是减函数，在
是增函数．∴当
时，
取最小值
． ……5分

（2）由（1）知，
的最小值为
，∴
．∵
，

，当且仅当
，即
时，取等号，∴
的最小值为
． ……10分

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