2016年普通高等学校全国统一招生考试-衡阳八中（第一模拟）

理科数学（试题卷）

注意事项：

1.本卷共24题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应查看试卷是否完整，是否有缺页漏页，重影模糊等有碍答题的现象，如有请先监考老师通报。考生禁止提前交卷。

第I卷 选择题（共60分）

一.选择题（共12题，每题5分，共60分。每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。）

1．数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（　　）

A．an=2n﹣1 B．

C．
D．

2．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（　　）

A．45 B．35 C．21 D．15

3．设集合S={1，2，…，2016}，若X是S的子集，把X中所有元素之和称为X的“容量”，（规定空集容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为S的奇（偶）子集，记S的奇子集个数为m，偶子集个数为n，则m，n之间的关系为（　　）

A．m=n B．m＞n C．m＜n D．无法确定

4．已知四个数1，x1，x2，2成等差数列，四个数1，y1，y2，2成等比数列，则点P1（x1，y2），P2（x2，y2）与直线y=x的位置关系是（　　）

A．P1（x1，y1），P2（x2，y2）在直线y=x的下方

B．P1（x1，y1）在直线y=x的下方，P2（x2，y2）在直线y=x的上方

C．P1（x1，y1）在直线y=x的上方，P2（x2，y2）在直线y=x的下方

D．P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在直线y=x的上方

5．设F1和F2为双曲线
的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是（　　）

A．1 B．
C．2 D．

6．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是（　　）

A．
B．
C．
D．

7．下列4个不等式：（1）故

dx＜

； （2）
sinxdx＜
cosxdx；

（3）
e﹣xdx＜
e
dx； （4）
sinxdx＜
xdx．能够成立的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（　　）

A．﹣3 B．3 C．﹣
D．

9．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（　　）

A．90种 B．180种 C．270种 D．540种

10．如图，在△OAB中，点P在边AB上，且AP：PB=3：2．则
=（　　）

A．
B．
C．
D．

11．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（　　）

A．10cm3 B．20cm3　 C．30cm3 D．40cm3

12．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，

f（x）=
，

则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（　　）

A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1

第II卷 非选择题（共90分）

二.填空题（每题5分，共20分。）

13．△ABC中，
，BC=3，
，则∠C=　　　　　　．

14．某单位有员工90人，其中女员工有36人，为做某项调查，拟采用分层抽样抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是　　　　　　．

15．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x2和曲线y=
围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是　　　　　　．

16．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1．再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是　　　　　　．

三.解答题（本卷分必做题和选做题两部分，其中第17-21题为必做题，每题12分。选做题10分，共70分）

【一】必做题（考生必须作答）

17．已知函数f（x）=2sin2x+sin2x﹣1．

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）设
，其中0＜x0＜π，求tanx0的值．

18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2
，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．

（1）证明：BC⊥AB1；

（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．

19．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）

几何题

代数题

总计



男同学

22

8

30



女同学

8

12

20



总计

30

20

50



（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．

（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 EX．

附表及公式

P（k2≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



K2=
．

20．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
=（sinB﹣sinC，sinC﹣sinA），
=（sinB+sinC，sinA），且
⊥
．

（1）求角B的大小；

（2）若
=
?cosA，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积．

21．如图，曲线Γ由两个椭圆T1：
和椭圆T2：
组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．

（1）若猫眼曲线Γ过点
，且a，b，c的公比为
，求猫眼曲线Γ的方程；

（2）对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：
为与k无关的定值；

（3）若斜率为
的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN面积的最大值．

【二】选做题（考生需从22、23、24题中任选一题作答，多选者按22题计分，共10分）

22．（4-1·几何证明选讲）如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．

（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；

（Ⅱ）若AC=2，AF=2
，求△BDF外接圆的半径．

23．（4-4·坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程是
（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．

（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；

（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．

24．（4-5·不等式选讲）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．

（1）求a+b+c的值；

（2）求
a2+
b2+c2的最小值．

2016年衡阳八中高三年级第一次模拟理科数学参考答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

A

A

A

D

D

D

D

B

B

A





非选择题

13.

14.9

15.

16.6x﹣8y+1=0

17.（1）f（x）=2sin2x+sin2x﹣1=sin2x﹣cos2x=
sin（2x﹣
）．

由2kπ﹣
≤2x﹣
≤2kπ+
，k∈Z，

得2kπ≤x≤2kπ，k∈Z，

得kπ﹣
≤x≤kπ+
，k∈Z，

即函数f（x）的单调递增区间是，k∈Z；

（2）cos（
+α）cos（
﹣α）+sin2α=（cos
cosα）2﹣（sin
sinα）2+sin2α=
cos2α﹣
sin2α+sin2α=
，

即f（
）=
sin（2×
﹣
）=
sin（x0﹣
）=
，

即sinx0﹣cosx0=
，①

平方得2sinx0cosx0=
，

∵0＜x0＜π，

∴cosx0＞0，

则sinx0+cosx0=
=
②，

由①②得sinx0=
，cosx0=
，

则tanx0=
=
．

18.（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，

D为AA1中点，AB=2，AA1=2
，AD=
，

所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=
=
，

在直角三角形ABD中，tan∠ABD=
=
，

所以∠AB1B=∠ABD，

又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，

所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，

即BD⊥AB1，

又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1?侧面ABB1A1，

所以CO⊥AB1

所以，AB1⊥面BCD，

因为BC?面BCD，

所以BC⊥AB1．

（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣
，0），B（﹣
，0，0），C（0，0，
），B1（0，
，0），D（
，0，0），

又因为
=2
，所以

所以
=（﹣
，
，0），
=（0，
，
），
=（
，
，
），
=（
，0，﹣
），

设平面ABC的法向量为
=（x，y，z），

则根据
可得
=（1，
，﹣
）是平面ABC的一个法向量，

设直线CD与平面ABC所成角为α，则sinα=
，

所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为
．

19.（1）由表中数据得K2的观测值
，

所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；

（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为
（如图所示）

设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x＞y，

∴由几何概型
即乙比甲先解答完的概率为
；

（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有
种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有
种；恰有一人被抽到有
种；两人都被抽到有
种，

∴X可能取值为0，1，2，
，
，

X的分布列为：

X

0

1

2



P









∴
．

20.（1）∵
=（sinB﹣sinC，sinC﹣sinA），
=（sinB+sinC，sinA），且
⊥
，

∴（sinB﹣sinC）?（sinB+sinC）+（sinC﹣sinA）?sinA=0，

∴b2=a2+c2﹣ac，

∴2cosB=1，

∴B=
；

（2）∵
⊥
，∴△ABC是RT△，而B=
，故C=
，

由
=
=2R，得：
=
=2，

解得：a=1，b=
，

故S△ABC=
?
?1=
．

21.（1）由题意知，
，
=
=
，

∴a=2，c=1，

∴
，∴
；

（2）证明：设斜率为k的直线交椭圆T1于点C（x1，y1），D（x2，y2），线段CD中点M（x0，y0），

∴
，

由
得
，

∵k存在且k≠0，

∴x1≠x2，且x0≠0，

∴
，

即
；

同理，k?kON=﹣2；

∴
；

（3）设直线l的方程为
，

联立方程得
，

化简得，
，

由△=0化简得m2=b2+2c2，

，

联立方程得
，

化简得
，

由△=0得m2=b2+2a2，

，

两平行线间距离：
，

∴
；

∴△ABN的面积最大值为
．

22.（Ⅰ）证明：因为AB为圆O一条直径，所以BF⊥FH，…（2分）

又DH⊥BD，

故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，

所以B、D、F、H四点共圆．…（4分）

（2）解：因为AH与圆B相切于点F，

由切割线定理得AF2=AC?AD，即（2
）2=2?AD，

解得AD=4，…（6分）

所以BD=
，BF=BD=1，

又△AFB∽△ADH，

则
，得DH=
，…（8分）

连接BH，由（1）知BH为DBDF的外接圆直径，

BH=
，

故△BDF的外接圆半径为
．…（10分）

23.（1）由
，得
，两式平方作和得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0；

由ρ=﹣4cosθ，得ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2=﹣4x．

两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．

其极坐标为（0，0），（
）；

（2）如图，

由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．

此时|AB|=
，O到AB的距离为
．

∴△OAB的面积为S=
．

24.（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，

当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，

又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，

所以f（x）的最小值为a+b+c，

所以a+b+c=4；

（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，

（
a2+
b2+c2）（4+9+1）≥（
?2+
?3+c?1）2=（a+b+c）2=16，

即
a2+
b2+c2≥

当且仅当
=
=
，即a=
，b=
，c=
时，等号成立．

所以
a2+
b2+c2的最小值为
．

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/