2016年普通高等学校全国统一招生考试-衡阳八中（第一模拟）

文科数学

注意事项：

1.本卷共24题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应查看试卷是否完整，是否有缺页漏页，重影模糊等有碍答题的现象，如有请先监考老师通报。考生禁止提前交卷。

第I卷 选择题（每题5分，共60分）

一.选择题（每题5分，共60分。在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。）

1．已知集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B的子集个数为（　　）

A．3 B．4 C．7 D．8

2．若点（sin
，cos
）在角α的终边上，则sinα的值为（　　）

A．
B．
C．
D．

3．双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=
x，则该双曲线的方程是（　　）

A．
﹣
=1 B．
﹣
=1 C．
﹣
=1 D．
﹣
=1

4．已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则
的取值范围是（　　）

A．2+af（x）﹣b2＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．8

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2
，c=2
，1+
=
．则∠C=（　　）

A．30° B．135° C．45°或135° D．45°

10．f（x）=
则f=（　　）

A．﹣2 B．﹣3 C．9 D．

11．设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（　　）

A．
B．
C．
D．

12．对于各数互不相等的正数数组（i1，i2，…，in）（n是不小于2的正整数），如果在p＜q时有ip＜iq，则称“ip与iq”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有顺序“2，4”、“2，3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5）的“顺序数”是4，则（a5，a4，a3，a2，a1）的“顺序数”是（　　）

A．7 B．6 C．5 D．4

第II卷 非选择题（共90分）

二.填空题（每题5分，共20分）

13．已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为　　　　　　．

14．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足
，2
，若|
|=
，则正实数λ=　　　　　　．

15．如图，在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为　　　　　　．

16.记不等式组
所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是　　　　　　．

三.解答题（共8题，共70分）

【一】必做题（第17-21题为必做题，考生必须作答。其中第17题12分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分。共60分）

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
=

（1）求角C的大小，

（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．

18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．

（1）求证：PB∥平面EAC；

（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD．

19．已知F1、F2分别是椭圆
+
=1的左、右焦点，曲线C是坐标原点为顶点，以F2为焦点的抛物线，过点F1的直线l交曲线C于x轴上方两个不同点P、Q，点P关于x轴的对称点为M，设
=

（Ⅰ）若λ∈，求直线L的斜率k的取值范围；

（Ⅱ）求证：直线MQ过定点．

20．已知函数f（x）=ex﹣
ax2﹣2x

（1）当a=0时，求证：f（x）＞0恒成立；

（2）记y=f′（x）为函数y=f（x）的导函数，y=f″（x）为函数y=f′（x）的导函数，对于连续函数y=f（x），我们定义：若f″（x0）=0且在x0两侧f″（x）异号，则点（x0，f（x0））为曲线y=f（x）的拐点，是否存在正实数a，使得函数f（x）=ex﹣
ax2﹣2x在其拐点处切线的倾斜角a为
，若存在求出a的值；若不存在，说明理由．

21．春节期间，某微信群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个），红包被一抢而空，后据统计，60个红包中钱数（单位：元）分配如下频率分布直方图所示（其分组区间为

17.（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，

∴由正弦定理化简已知等式得：
=
，

整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，

∵sinA≠0，

∴cosC=﹣
，

∵C为三角形内角，

∴C=
；

（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣
，

∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，

∴ab≤
，（当且仅当a=b时成立），

∵S=
absinC=
ab≤
，

∴当a=b时，△ABC面积最大为
，此时a=b=
，

则当a=b=
时，△ABC的面积最大为
．

18.证明：（1）连接BD，交AC于F，

由E为棱PD的中点，F为BD的中点，

则EF∥PB，

又EF?平面EAC，PB?平面EAC，

则PB∥平面EAC；

（2）由PA⊥平面PCD，

则PA⊥CD，

底面ABCD为矩形，

则CD⊥AD，

又PA∩AD=A，

则有CD⊥平面PAD，

由CD?平面ABCD，

则有平面PAD⊥平面ABCD．

19.（I）令P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意，可设抛物线方程为 y2=2px

由椭圆的方程可得F1 （﹣1，0），F2 （1，0 ）故p=2，曲线C的方程为 y2=4x，

由题意，可设PQ的方程 x=my﹣1 （m＞0）．把PQ的方程代入曲线C的方程 化简可得 y2﹣4my+4=0，

∴y1+y2=4m，y1y2=4． 又
=
，∴x1+1=λ（x2+1），y1=λy2，

又
=λ+
+2=4m2．λ∈，∴2+
≤λ+
≤4+
，
≤m2≤
，

∴
≤
≤
∴直线L的斜率k的取值范围为．

（II）由于P，M关于X轴对称，故M（x1，﹣y1），

∵
﹣
=
+
=
=0，

∴M、Q、F2三点共线，故直线MQ过定点 F2 （1，0 ）．

20.（1）∵a=0，f（x）=ex﹣2x，

∴f′（x）=ex﹣2，

令f′（x）=0，解得x=ln2，

当f′（x）＞0，解得x＞ln2，函数单调递增，

当f′（x）＜0，解得0＜x＜ln2，函数单调递减，

当x=ln2时，函数有最小值，

f（x）＞f（ln2）=eln2﹣2ln2=lne2﹣ln4=ln
＞0，

∴f（x）＞0恒成立；

（2）∵f（x）=ex﹣
ax2﹣2x，

∴f′（x）=ex﹣ax﹣2，

∴f″（x）=ex﹣a，

令f″（x0）=ex0﹣a，解得x0=lna，a＞0，

∵拐点处切线的倾斜角a为
，

∴k=tan
=﹣
，

∴lna=﹣
，

解得a=
＞0，

∴存在正实数a═
，使得函数f（x）=ex﹣
ax2﹣2x在其拐点处切线的倾斜角a为
．

21.（1）根据频率分布直方图，得；

该群中抢到红包的钱数不小于3元的频率是

1﹣0.05﹣0.20﹣0.40=0.35，

∴估计该群中某成员抢到钱数不小于3元的概率是0.35；

（2）该群中抢到钱数不小于4元的频率为0.10，对应的人数是60×0.10=6，

记为1、2、3、4、甲、乙；

现从这6人中随机抽取2人，基本事件数是12，13，14，1甲，1乙，

23，24，2甲，2乙，34，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共15种；

其中甲乙两人至少有一人被选中的基本事件为

1甲，1乙，2甲，2乙，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共9种；

∴对应的概率为P=
=
．

22.（1）因为BE是⊙O的切线，所以∠EBD=∠BAD…（2分）

又因为∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD…（4分）

所以∠EBD=∠CBD，即BD平分∠EBC．…（5分）

（2）由（1）可知∠EBD=∠BAD，且∠BED=∠BED，有△BDE∽△ABE，所以
，…（7分）

又因为∠BCD=∠BAE=∠DBE=∠DBC，所以∠BCD=∠DBC，BD=CD…（8分）

所以
，…（9分）

所以AE?DC=AB?BE…（10分）

23.（1）直线l的参数方程为
为参数）．

由上式化简成t=2（x﹣1）代入下式得

根据ρ2=x2+y2，进行化简得C：x2+y2=1（2分）

（2）∵
代入C得∴
（5分）

设椭圆的参数方程
为参数）（7分）

则
（9分）

则
的最小值为﹣4．（10分）

24.（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=
，令f（x）=0，求得x=﹣
，或 x=3，

故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣
，或x＞3}．（4分）

（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，即f（x0）＜4a﹣2a2 有解，

由（1）可得f（x）的最小值为f（
）=﹣3?
﹣1=﹣
，故﹣
＜4a﹣2a2 ，（8分）

求得﹣
＜a＜
．（10分）

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