衡阳市2015-2016学年度高三联考一

第I卷（选择题）

一、选择题

1．设集合
，
，若
，则
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2．如图， 在复平面内，复数
和
对应的点分别是
和
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．为了考察两个变量
和
之间的线性相关性，甲、乙两同学各自独立地做
次和
次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为
和
，已知两个人在试验中发现对变量
的观测值的平均值都是
，对变量
的观测值的平均值都是，那么下列说法正确的是（）

A．
和
有交点

B．
和
相交，但交点不是

C．
和
必定重合

D．
和
必定不重合

4．如图，
是双曲线

的左、右焦点，过
的直线与双曲线的左右两支分别交于点
、
．若
为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）



A．4 B．
C．
D．

5．上边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的
分别为15，18，则输出的
为（ ）

A．0 B．1 C．3 D．15

6．一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是（0，0，1），（1，0，0），（2，2，0），（2，0，0），画该三棱锥三视图的俯视图时，从
轴的正方向向负方向看为正视方向，从
轴的正方向向负方向看为俯视方向，以
平面为投影面，则得到俯视图可以为（ ）

7．已知四个数
成等差数列，四个数
成等比数列，则点
，
与直线
的位置关系是（ ）

A．
，
都在直线
的下方

B．
在直线
的下方，
在直线
上方

C．
在直线
的上方，
在直线
下方

D．
，
都在直线
的上方

8．
的角
所对的边分别是
（其中
为斜边），分别以
边所在的直线为旋转轴，将
旋转一周得到的几何体的体积分别是
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

9．已知
（
），设
展开式的二项式系数和为
，
（
），
与
的大小关系是（ ）

A．

B．

C．
为奇数时，
，
为偶数时，

D．

10．设点
是曲线
上的动点，且满足
，则
的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

11．已知函数f(x）=ex- 2ax，函数g（x）= -x3-ax2. 若不存在x1，x2∈R，使得f '(x1）=g'（x2），则实数a的取值范围为

A．（-2,3) B．（-6,0) C.[-2,3] D．[-6,0]

12．函数f1（x）＝x3，f2（x）＝
，f3（x）＝
，f4（x）＝
|sin（2πx）|，等差数列{an}中，a1＝0，a2015＝1，bn＝|fk（an＋1）－fk（an）|（k＝1，2，3，4），用Pk表示数列{bn}的前2014项的和，则（ ）

A.P4＜1＝P1＝P2＜P3＝2 B.P4＜1＝P1＝P2＜P3＜2

C.P4＝1＝P1＝P2＜P3＝2 D.P4＜1＝P1＜P2＜P3＝2

第II卷（非选择题）

二、填空题

13．已知
，
，则向量
在向量
上的投影为 。

14．已知数列
满足
，则数列
的通项公式为
．

15． 若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是 ．

16．已知集合M={f(x)
}，有下列命题

①若f(x)=
，则f(x)
M；

②若f(x)=2x，则f(x)
M；

③f(x)
M，则y=f(x)的图像关于原点对称；

④f(x)
M，则对于任意实数x1,x2(x1
x2)，总有
﹤0成立；

其中所有正确命题的序号是_______。(写出所有正确命题的序号)

三、解答题

17．在△ABC中，已知AB=2，AC=
，BC=8，延长BC到D，延长BA到E，连结DE。

⑴求角B的值；

⑵若四边形ACDE的面积为
，求AE·CD的最大值。

18．直三棱柱
中，
，
分别是
的中点，
，
为棱
上的点．

（1）证明：
；

（2）是否存在一点
，使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
？若存在，说明点
的位置，若不存在，说明理由．

19．张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
，
．

⑴若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；

⑵若走L2路线，求遇到红灯次数
的数学期望；

⑶按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．

20．已知椭圆
过点
，离心率为
，点
分别为其左右焦点．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）若
上存在两个点
，椭圆上有两个点
满足
三点共线，
三点共线，且
,求四边形
面积的最小值．

21．已知
为实数，函数
．

（1）设
，若
，使得
成立，求实数
的取值范围．

（2）定义：若函数
的图象上存在两点
、
，设线段
的中点为
，若
在点
处的切线与直线
平行或重合，则函数
是“中值平衡函数”，切线叫做函数
的“中值平衡切线”．试判断函数
是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数
的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由；

22．（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】

如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．

（1）证明：PG=PD；

（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．

23．（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线
，
有且仅有一个公共点．

（1）求
；

（2）
为极点，
为曲线
上的两点，且
，求
的最大值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
，
．

（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若
恒成立，求实数
的取值范围．

衡阳市2015-2016学年度高三联考一答案

第I卷（选择题）

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

A

B

C

A

A

D

C

A

D

A





第II卷（非选择题）

二、填空题

13．【答案】
14．【答案】

15．【答案】
16．【答案】②③

三、解答题

17．解：⑴由余弦定理得：

所以B=
。………………………………4分

⑵设AE=x,CD=y则

∵

∴

∴

∴
∴

∴
当且仅当
时，等号成立。

所以AE·CD的最大值为9。………………………………………12分

18．【解析】（1）证明：∵
，
，又∵
∴
⊥面
．又∵
面
，∴
，以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系
，

则有
，设
且
，即
,则
，

∵
，所以
；………………6分

（2）结论：存在一点
，使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
，理由如下：

由题可知面
的法向量
，设面
的法向量为
，则
，∵
，∴
，即
，

令
，则
．∵平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
，

∴
，即
，解得
或
（舍），所以当
为
中点时满足要求．………………12分

19．解：（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则

． ………………3分

所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为
．

（Ⅱ）依题意，
的可能取值为0，1，2．

，

，

．

随机变量
的分布列为：

0

1

2



P










． ………………10分

（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为
，随机变量
服从二项分布，
，

所以
．

因为
，所以选择L2路线上班最好． ………………12分

20．【解析】（1）由题意得：
，得
，

因为椭圆过点
，则
解得
所以
，所以椭圆
方程为:
．………………4分

（2）当直线