长郡中学2016届高三月考试卷（六）

数学（文科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.若全集
，集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知
，
，
是虚数单位，若
与
互为共轭复数，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4.在区间
上随机地抽取一个实数
，若
满足
的概率为
，则实数
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.已知
在
上是奇函数，且满足
，当
时，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为
的直角三角形，俯视图是半径为
的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

7.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入
，
，
的值分别为
，
，
，则输出
和
的值分别为（ ）

A．
，
B．
，
C．
，
D．
，

8.设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
，则曲线
在点
处切线的斜率为为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.已知
，且
，函数
（
）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知
的三个顶点
，
，
的坐标分别为
，
，
，
为坐标原点，动点
满足
，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

11.过双曲线
（
，
）的一个焦点
作一条渐近线的垂线，垂足为点
，与另一条渐近线交于点
，若
，则此双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
是边长为
的正三角形，
为球
的直径，且
，则此棱锥的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为
，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为
的样本，则所抽取的二年级学生的人数是 ．

14.若实数
，
满足约束条件
，则
的取值范围是 ．

15.设数列
的各项都是正数，且对任意
，都有
，其中
为数列
的前
项和，则数列
的通项公式为
．

16.已知以
为焦点的抛物线
上的两点
，
满足
，则弦
中点到抛物线准线的距离为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

设
为数列
的前
项和，已知
，对任意
，都有
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
的前
项和为
，求证：
．

18.（本小题满分12分）

“冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动，活动规定：被邀请者要么在
小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外
个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．

（1）若某参与者接受挑战后，对其他
个人发出邀请，则这
个人中至少有
个人接受挑战的概率是多少？

（2）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下列联表：

根据表中数据，能否有
%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？

附：

19.（本小题满分12分）

如图甲，
的直径
，圆上两点
、
在直径
的两侧，使
，
．沿直径
折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），
为
的中点，
为
的中点．根据图乙解答下列各题：

（1）求证：
；

（2）在
上是否存在一点
，使得
平面
？若存在，试确定点
的位置；若不存在，请说明理由．

20.（本小题满分12分）

定圆

，动圆
过点
且与圆
相切，记圆心
的轨迹为
．

（1）求轨迹
的方程；§§§§§

（2）设点
，
，
在
上运动，
与
关于原点对称，且
，当
的面积最小时，求直线
的方程．

21.（本小题满分12分）

已知函数
（
），其导函数为
．

（1）求函数
的极值；

（2）当
时，关于
的不等式
恒成立，求
的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
，
于点
，以
为直径的
与
交于点
．

（1）求证：
；

（2）若
，点
在线段
上移动，
，
与圆
相交于点
，求
的最大值．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线

（
为参数），曲线

（
为参数）．

（1）设
与
相交于
，
两点，求
；

（2）若把曲线
上各点的横坐标压缩为原来的
倍，纵坐标压缩为原来的
倍，得到曲线
，设点
是曲线
上的一个动点，求它到直线
的距离的最小值．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知定义在
上的函数
，
，存在实数
使
成立．

（1）求实数
的值；

（2）若
，
，
，求证：
．

长郡中学2016届高三月考试卷（六）

数学（文科）参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

D

B

D

B

A

C

A

B

A

C

A



10．A 【解析】由
及
可得
的轨迹方程为
，即
，

，

（
，
），

．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

13.
14.
15.

16.

【解析】令
，
，其中点
，
，由
得，
，

，故
，

，两式相减得
，故
，

，即
，又
，

，得
，

，