兰州第一中学2016届高三第三次模拟考试试题

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，

考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：

1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数
满足
为虚数单位), 则复数
所对应的点所在象限为( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知命题
，命题
，则( )

A. 命题
是真命题 B. 命题
是真命题

C. 命题
是假命题 D. 命题
是假命题

3. 向量
均为非零向量，
，则
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．函数
的图象的对称中心是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：

①若m∥n，n∥α，则m∥α； ②若m∥β，α∥β，则m∥α；

③若m⊥n，n⊥α，则m∥α； ④若m⊥β，α⊥β，则m∥α.

其中正确命题的个数是(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

6．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有(　　)

A．16种 B．18种 C．37种 D．48种

7. 已知点
的坐标
满足：

，则
的最大值是（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

8. 如图，当输入a4=5, a3=4, a2=3, a1=2, a0=1, x= -1时, 程序框图中输出的是（ ）

A．4

B．3

C．2

D．1

9. 若直线
截得圆
的弦长为2，则
的最小值为（　　）

A. 4 B. 12 C. 16 D. 6

10. 已知当x＝时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f(
)满足(　 　)

A．是奇函数且图象关于点对称

B．是偶函数且图象关于点(π，0)对称

C．是奇函数且图象关于直线x＝对称

D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称

11. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积是（ ）

A.4
B.6

C.12
D.24

12. 已知
是定义在
上的减函数，其导函数
满足
，则下列结论正确的是( )

A.对于任意
,
<0 B.对于任意
,
>0

C.当且仅当
,
<0 D.当且仅当
,
>0

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若随机变量
～
，且
＝0.1587，则
__________.

14. 二项式(ax-
)3（a>0）的展开式的第二项的系数为
，则
的值是____.

15. 在(ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边.若
=2，b2-a2=
ac，则cosB= .

16．设
是双曲线
的右焦点，O为坐标原点，点A，B分别在双曲线的两条渐近线上，AF(x轴，BF∥OA，
=0，则该双曲线的离心率为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分)

在各项均为正数的等比数列
中，
且
成等差数列．

（Ⅰ）求等比数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，数列
的前
项和为
. 求证：
.

18．（本小题满分12分）

近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院的50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

患心肺疾病

不患心肺疾病

合计



男



5





女

10







合计





50



已知在调查的50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为
．

（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；

（Ⅱ）是否有
的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；

（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病．现在从患心肺疾病的10位女性中，抽取3名进行其他方面的排查，记抽取患胃病的女性人数为X，求X的分布列及数学期望．

下面的临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



（参考公式：
，其中
）

19．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA(平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且

，PA=2，点M在PD上.

（Ⅰ）求证：AB⊥PC；

（Ⅱ）若二面角M-AC-D的大小为
，

求BM与平面PAC所成角的正弦值.

20. (本小题满分12分) 已知椭圆
的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为
的正方形.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过点
的直线与椭圆C相交于A，B两点，点
，记直线PA，PB的斜率分别为
，当
最大时，求直线
的方程.

21. (本小题满分12分) 设l为函数
在点(1，0)处的切线.

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)证明：当
时，
.

选考题:（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分; 做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.）

22．（本小题满分10分）选讲4-1：几何证明选讲

如图，过圆O外一点P作圆的切线PC，切点为C，割线PAB、割线PEF分别交圆O于A与B、E与F．已知PB的垂直平分线DE与圆O相切．

（Ⅰ）求证：DE∥BF；

（Ⅱ）若
，DE=1，求PB的长．

23（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程为
（
为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为

．

（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；

（Ⅱ）P是C1上的任意一点，过P点作与C2的夹角为
的直线交C2于点A．

求∣PA∣的最大值.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f（x）＝｜x－3｜．

（Ⅰ）若不等式f（x－1）＋f（x）＜a的解集为空集，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若｜a｜＜1，｜b｜＜3，且a≠0，判断
与f（
）的大小，并说明理由．

甘肃省兰州第一中学2016届高三第三次模拟考试

数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

A

B

B

D

C

C

B

D

C

B

A





二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 0.8413 14. 3 15.
16．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分)

解（Ⅰ）设数列
的公比为
，
成等差数列，

，
，
，

解得
或
，

，

数列
的通项公式为
. ……6分

（Ⅱ）
，
，

，

.

相减得

.

. …….12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）列联表补充如下　　　　　　　　　

患心肺疾病

不患心肺疾病

合计



男

20

5

25



女

10

15

25



合计

30

20

50



……2分

（Ⅱ）因为
，所以
>7.789　　　

又
．

所以，有
的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的． ……4分

（Ⅲ）解：　X的所有可能取值：0，1，2，3

P(X=0)=
; P(X=1)=
;

P(X=2)=
; P(X=3)=
; ……8分

分布列如下：

X

0

1

2

3















……10分

则E(X)=
. ………12分

19．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）取
中点
，连结
,

则
，

所以四边形
为平行四边形，故
，

又
,

所以
,故

,又
，
,

所以
,

故有
………………5分

（Ⅱ）方法一：如图建立空间直角坐标系

则

【来源：全,品…中&高*考+网】设
,易得

设平面
的一个法向量为
，

则

令
，

即
…………8分

又平面
的一个法向量为
，

，

解得
，即
，
，

而
是平面
的一个法向量，

设直线BM与平面PAC所成的角为(，则
.

故直线BM与平面PAC所成的角的正弦值为
. …………………12分

方法二：如图建立空间直角坐标系
.

则

过点M作MN⊥AD于点D，则MN⊥平面ABCD,

过点N作NH⊥AC于点H，则∠MHN为二面角M-AC-D的平面角, ……8分

∴∠MHN=45o, ∴MN=NH, 则AN=
NH，则可设M（0，
z，z），

由
，得z=1，∴M（0，
，1）， ……10分

，而
是平面
的一个法向量，

设直线BM与平面PAC所成的角为(，则
.

故直线BM与平面PAC所成的角的正弦值为
. …………………12分

20. (本小题满分12分)

解：（Ⅰ）由题意可得
．

所以椭圆
的方程是
．　　　　　 　．．．4分

（Ⅱ）当直线
的斜率不存在时，易得
．　　　　　 　　．．．5分

当直线
的斜率存在时，设
的方程为
.

联立
，消
得

，　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．6分

，

,

.　．．．．8分

令
，则
，
．

只考虑
的情形，
，　　　 　．．．．．10分

当且仅当
时，等号成立，此时
，

故所求直线
的方程为
，即
．　　　　　　 ．．．．．12分

另解提示：求