炎德·英才大联考长郡中学2016届高三月考卷（六）

理科数学

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设复数
，其中
为实数，若
的实部为2，则
的虚部为（ ）

A．
B．
C．
D．

2.设
，
，
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

4.一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为

A．
B．
C．
D．

5.执行如图所示的程序框图，则输出
的值为（ ）

A．
B．
C．0 D．

6.某几何体三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

7.已知
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8.抛物线
的焦点为
，已知点
为抛物线上的两个动点，且满足
. 过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则
的最大值为（ ）

A．
B．1 C．
D．2

9.两圆
和
恰有三条公切线，若
且
，则
的最小值为（ ）

A．1 B．3 C．
D．
[:]

10.已知
为
上的可导函数，当
时，
，则关于
的函数
的零点个数为（ ）

A．1 B．2 C．0 D．0或2

11.如图，已知正方体
棱长为4，点
在棱
上，且
，在侧面
内作边长为1的正方形
，
是侧面
内一动点，且点
到平面
距离等于线段
的长，则当点
运动时，
的最小值是（ ）

A．21 B．22 C．23 D． 25

12.函数
是定义在
上的奇函数，且
为偶函数，当
时，
，若
有三个零点，则实数
的取值集合是（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知集合
，
，若
，
，则

.

14.若直线
和直线
将圆
分成长度相等的四段弧，则

.

15.数列
中，
，
为数列
的前
项和，且对
，都有
，则数列
的通项公式
.

16.已知函数
是
上的奇函数，当
时，
（
为常数，且
），若对实数
，都有
恒成立，则实数
的取值范围是 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

的内角
所对的边分别为
，已知
，
.

（1）求
的值；

（2）求
的值.

18. （本小题满分12分）

为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表：

（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男性，设调查的3人在这一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量
，求
的分布列和数学期望；

（2）根据以上数据，能否有
的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”？

参考公式：
，其中
.

参考数据：

0.15

0．10

0.05

0.025

0.010





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635



19. （本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形
为平行四边形，平面
平面
，
，
，
，
，
.

（1）求证：
；

（2）当二面角
的平面角的余弦值为
时，求三棱锥
的体积.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆
的短轴的端点分别为
，直线
分别与椭圆
交于
两点，其中点
满足
，且
.

（1）求椭圆
的离心率
；

（2）用
表示点
的坐标；

（3）若
面积是
面积的5倍，求
的值.

21. （本小题满分12分）

已知函数
.

（1）若
，求曲线
在点
处的切线；

（2）若函数
在其定义域内为增函数，求正实数
的取值范围；

（3）设函数
，若在
上至少存在一点
，使得
成立，求实数
的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，圆
的半径为6，线段
与圆
相交于点
，
，
，
与圆
相交于点
.

（1）求
长；

（2）当
时，求证：
.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
.（
为参数）

（1）写出直线
与曲线
的直角坐标方程；

（2）过点
且平行于直线
的直线与曲线
交于
两点，若
，求点
轨迹的直角坐标方程.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
.

（1）解不等式
；

（2）若
对一切实数
均成立，求
的取值范围.

参考答案

选择题

ADCAA BBAAC BC

12.C【解析】由
为奇函数，且
为偶函数知
，令
，则
，所以
是周期为4的周期函数，又
时，
，画出
的函数图象如图所示，由
有三个零点，即
的图象与
的图象有三个交点，由图易得当
时，
与
在
内有三个交点，又
是以4为周期的周期函数，故当
，
时，
有三个零点，故选
.

二、填空题

13. -5

14. 18

15.

【解析】当
时，由
，得
，

所以
，又
，所以
是以2为首项，1 为公差的等差数列，
，所以
，

所以
，
，

又
不满足上式，

所以
.

16.

【解析】当
时，
，所以当
时，
为增函数，

三、解答题

17.【解析】（1）在三角形
中，由
及
，

可得
，又
，有
，

所以
.

（2）在三角形
中，由
，可得
，于是
，

，所以
.

18.【解析】（1）由已知，每个男性周末上网的概率为
，

故
～
，
，
，

.

（2）因为
，故有99%把握认为年轻人的休闲方式与性别有关系.[:]

19.【解析】（1）因为
，平面
平面
，所以
平面
，

又
，所以
平面
，所以
，又
，所以
∽
，∴
.

（2）取
的中点
，因为
，所以
，又平面
平面
，

所以
平面
.

如图，建立空间直角坐标系，则
，设
，∴
，

，

设平面
的法向量为
，

则由
，即
，

得
，∴
.

由（1）知
平面
，所以平面
的法向量为
，

∴
，∴
.

所以
.

20.【解析】（1）依题意知：