甘肃省兰州第一中学2016届高三冲刺模拟题

数学（文）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 总分150分，考试时间120分钟．

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

1.设集合
，
，则下列关系中正确的是（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知复数
，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.以下判断正确的是（ ）

A. 函数
为
上的可导函数，则
是
为函数
极值点的充要条件.

B. 命题“
”的否定是“
”.

C. 命题“在
中，若
”的逆命题为假命题.

D. 球面上两点的最短距离是过这两点的大圆的劣弧长.

4.甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中,5次得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为
、
,则下列判断正确的是（ ）

.
，甲比乙成绩稳定
.
，乙比甲成绩稳定

.
，甲比乙成绩稳定
.
，乙比甲成绩稳定

5.已知抛物线
与双曲线
的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若｜MF｜＝5，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

A. 5x±3y＝0 　　 B. 3x±5y＝0　　 　 C. 4x±5y＝0 　 　D. 5x±4y＝0

6.某程序框图如图1所示，则该程序运行后输出的值是 ( )

A. 2014 B. 2015 C. 2016 D. 2017

图1 图2 图3

7.函数
的部分图象如图2所示，则下列说法错误的是（ ）

A.
B.
关于直线
对称

C.
在
上的值域为
D.
的增区间为

8.若某几何体的三视图(单位：
)如图3所示，则该几何体的体积等于(　 )

A.
B.
C .
D.

9.在△ABC中，点M是BC中点.若
，
，则
的最小值是（ ）

A.
B.
.
C.
D.

10.在三棱锥
中，
，
中点为
，

，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

11.各项均为正数的等比数列
的前
项的为
，若
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

12.已知函数
，
，设方程
的根从小到大依次为
，则数列
的前
项和为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请把答案写在答题卷上.）

13.设
为等差数列，公差d=2，
为其前n项和，若
，则
.

14.在平面直角坐标xOy中，设D是由不等式组
表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，若向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是 .

15.已知椭圆
的左、右焦点为F1、 F2，点F1关于直线
的对称点P仍在椭圆上，则△PF1F2的周长为 .

16.定义在
上的函数
满足：
则不等式
（其中
为自然对数的底数）的解集为 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

已知A,B,C是
的三个内角,且
.

（Ⅰ）求证：
;

（Ⅱ）求
的取值范围.

18.（本小题满分12分）

在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与

表达”两个科目的考试，成绩分别为
五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数

据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为
的考生有10人．

（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；

（2）若等级A,B,C,D,E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

（3）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A,在至少一科成绩为
的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．

19.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABA1-DCD1中，D1C=
，DD1=DA=DC=a，

点E、F分别是BC、DC的中点．

（Ⅰ）证明：AF⊥ED1 ；

（Ⅱ）求点E到平面AFD1的距离.

20.（本小题满分12分）

已知平面内一动点
到点
的距离等于它到直线
的距离.

(Ⅰ)求动点
的轨迹
的方程;

(Ⅱ)若直线
与曲线
交于
两点,且
,点
,求
的最小值.

21.（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）若函数
在
处取得极值，不等式
对
恒成立，求实数
的取值范围；

（III）当
时，证明不等式
.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线

互相垂直，垂足为D.

（Ⅰ）求证： AC平分∠DAB；

（Ⅱ）若AB=9，AC=6，求CD.

（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：
(a>0)，直线l的参数方程为
(t为参数)，l与C分别交于M，N.

(Ⅰ)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；

(Ⅱ)已知点P(－2，－4)，若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求a的值.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知实数m ,n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2－6x－9|的解集为R.

（Ⅰ）求m、n的值；

（Ⅱ）若a、b、c∈R＋，且a+b+c＝m－n，求证：++≤.

甘肃省兰州第一中学2016届高三冲刺模拟题

数学（文）参考答案

一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的（本大题共12小题,每小题5分,共6分.）

1C 2C 3D 4B 5A 6D 7C 8B 9D 10C 11B 12B

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请把答案写在答题卷上.）

13 -20 14
15
16

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17 解：（Ⅰ）由题设

．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（Ⅱ）

由正弦定理得

易得所求取值范围为（1,5） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

18．解：（1）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为
的考生有10分，

所 以该考场有
人　所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为
的人数
…………………………4分

（2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

……8分

（3）因为两科考试中，共有6人得分等级为
，又恰有两个的两科成绩等级均为
，所以还有2人只有一个科目得分为
．设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是
的同学，则在至少一科成绩等级为
的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为

1个，则
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19.解：（Ⅰ）由已知得
，
………………1分

连接
，由已知得
，又
，
，所以
平面
………2分

平面
，所以
………………3分

，
，
，

，
，
………4分

，所以
平面
，
………5分

（Ⅱ）设三棱锥
的体积为
，点
到平面
的距离为

…………7分

，
，过
作
于
，则
…………9分

的面积
……………………10分

……11分，解得
…………12分

20. 解：(Ⅰ)依题知动点
的轨迹是以
为焦点,以直线
为准线的抛物线, …………1分

所以其标准方程为
…………………………4分

(Ⅱ)设
,则

因为
,所以

即
（※） ………………………6分

又设直线
,代入抛物线
的方程得,

所以
,且
…………………8分

也所以
,

所以（※）式可化为,
,

即
,得
,或
………………………10分

此时
恒成立.

,且
,

所以

由二次函数单调性可知,当
时,
有最小值
……………12分

21.解：（1）函数的定义域是
且
……………（1分）

当
时，
，从而
，函数
在
上单调递减；

当
时，若
，则
，从而
；

若
，则
，从而
，

所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增. ……………（4分）

（2）由（1）可知，函数的极值点是
，若
，则
.

若
在
上恒成立，即
在
上恒成立，只需
在
上恒成立. ………………………………（6分）

令
，则
，

易知
为函数
在
内唯一的极小值点，也是最小值点，故

，即
=
，故只要
即可.

所以b的取值范围是
. ……………………………………………（8分）

（3）由题意可知，要证不等式
成立，只需证
.

构造函数
,则
，

因为在
上单调递增，由于
，

所以
，所以
，

即
. ……………………………………………（12分）

22．证明与求解：

（Ⅰ）连接
，则
，
……2分

因为
，所以
，
……4分

，
平分
……5分

（Ⅱ）连接
，则
，又
平分