第八节 充分条件与必要条件

教学建议

（一）教材分析

1．知识结构

　　首先给出推断符号“ ”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识．

2．重点难点分析

　　本节的重点与难点是关于充要条件的判断．

　　（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件 和结论 之间的因果关系．

　　（2）在判断条件 和结论 之间的因果关系中应该：

　　①首先分清条件是什么，结论是什么；

　　②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立；

　　③最后再指出条件是结论的什么条件．

　　（3）在讨论条件 和条件 的关系时，要注意：

　　①若 ，但 ，则 是 的充分但不必要条件；

　　②若 ，但 ，则 是 的必要但不充分条件；

　　③若 ，且 ，则 是 的充要条件；

　　④若 ，且 ，则 是 的充要条件；

　　⑤若 ，且 ，则 是 的既不充分也不必要条件．

　　（4）若条件 以集合 的形式出现，结论 以集合 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．

　　①若 ，则 是 的充分条件；

　　显然，要使元素 ，只需 就够了．类似地还有：

　　②若 ，则 是 的必要条件；

　　③若 ，则 是 的充要条件；

　　④若 ，且 ，则 是 的既不必要也不充分条件．

　　（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题 逆否命题，逆命题 否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．

（二）教法建议

　　1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条件中的 ， 与四种命题中的 ， 要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若 则 ”形式的复合命题．

　　2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．

　　3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念．

　　4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．

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