第八节 充分条件与必要条件
例1 指出下列各组命题中, 是 的什么条件(在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种)。
(1) :四边形对角线互相平分; :四边形是矩形。
(2) : ; :抛物线 过原点。
(3) : ; : 。
(4) :方程 有一根为1; : 。
(5) : ; :方程 有实根。
解:(1)四边形对角线互相平分 四边形是矩形。四边形是矩形 四边形对角线互相平分。所以 是 的必要而不充分条件。
(2) 抛物线 过原点,
抛物线 过原点 。
所以 是 的充要条件。
(3) 。
所以 是 的充分而不必要条件。
(4)方程 有一根为 。
方程 有一根为1。
所以 是 的充要条件。
(5) 方程 有实根,方程 有实根 。
所以 是 的充分而不必要条件。
(6)利用集合的图示法(图1—13),知
所以 是 的充要条件。
注意,第(5)小题也可从集合观点入手研究其充分必要性。实际上,
: ,
: 。
因为 ,所以 是 的充分而不必要条件。请用集合观点解答第(3)小题。
例2 已知关于 的一元二次方程( )
①
②
求方程①和②的根都是整数的充要条件。
解 方程①有实数根的充要条件是 ,解得 ;
方程②有实数根的充要条件是 ,解得 。
所以 。而 ,得 ,或 ,或 。
当 时,方程①为 ,无整数根;
当 时,方程②为 ,无整数根;
当 时,方程①为 ,方程②为 ,①和②的根都是整数。
从而,①和②的根都是整数 ;反之, ①和②的根都是整数。
所以方程①和②的根都是整数的充要条件是 。
例3 设关于 的一元二次不等式, 对一切实数均成立,求 的取值范围.
解:一元二次不等式 ,对一切 恒成立 二次函数 的图像全在 轴上方 .
注:这里“ 的取值范围: ”就是“二次不等式 对一切实数 都成立”的充要条件.
有些问题(如求字母 的取值范围),我们必须通过等价变换,才能获得正确结果,这里的“等价变换”与“充要条件”是紧密相连的.我们所熟悉的解方程(或不等式)的过程,实质上是等价变换的过程.
例4 “ 且 为真”是“ 或 为真”的( )
(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件.
(C)充要条件. (D)既不充分又不必要条件.
解:“ 且 为真”,就是 和 都为真,所以 或 为真,即 且 为真 或 为真.
“ 或 为真”,即 为真或 为真, 与 不一定同时为真,所以, 或 为真 且 为真.
所以“ 且 为真”是“ 或 为真”的充分不必要条件.
例5 若甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,丁是乙的必要条件,问甲是丙的什么条件?乙是丁的什么条件?
解:由题意,分析如下图所示。
根据图示得:甲是丙的充分条件,乙是丁的充要条件.
常见错误及分析:
错解1:由图知,甲是丙的充分不必要条件,产生错误的原因是把“甲 乙”理解成了
错解2:判为“乙是丁的充分条件”.产生错误的原因是只看出“ ”,而没有根据推理“ ”得出“ ”.
例6 已知 : ; : .若 是 的必要而不充分条件,求实数 的取值范围.
点拨 可以有两个思路:
(1)先求出 和 ,然后根据 , ,求得 的取值范围;
(2)若原命题为“若 ,则 ”,其逆否命题是“若 则 ”,由于它们是等价的,可以把求 是 的必要而不充分条件等价转换为求 是 的充分而不必要条件.
解法一 求出 : 或 ,
: 或 .
由 是 的必要而不充分条件,知B A,它等价于
同样解得 的取值范围是 .
解法二 根据思路二, 是 的必要而不充分条件,等价于 是 的充分而不必要条件.设
: ;
: ;
所以,A B,它等价于
同样解得 的取值范围是 .