第八节 充分条件与必要条件

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判断条件充要性的“四注意”

　　条件充要性的判定结果有四种，判定的方法也很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断．如何实现正确、快捷地判定，笔者认为要注意四个方面．

一、要注意分清条件和结论，以免混淆充分性与必要性

　　从命题的角度判断条件的充要性，应先把题目写成命题的形式，并对条件和结论进行简化，然后按充要条件的定义直接判定，由于充分条件和必要条件是相对的，因此在判定时一定要分清哪是条件？哪是结论？指明条件是结论的哪种条件？否则会混淆二者的关系，造成错误．

二、要注意转换命题判定，培养思维的灵活性

　　由于原命题 逆否命题，逆命题 否命题，因此，对于那些带有否定性的命题，可先转换为它的等价命题，再进行判定，这种正难则反的等价转化思想，应认真领会．

　　例1  下列各题中， 是 的什么条件？

　　（1） ：在 中， ； ： ．

　　（2）已知 ： ； ： 不都是－1．

　　解：（1）在 中， ： ； ： ．

　　∵  在 中， ，则 或 ，∴ ，而 ，故 是 的必要而不充分条件，从而在原命题中， 是 的必要而不充分条件．

　　（2） ： ； ： 且 ．∵ ，但 ，

故 是 的充分而不必要条件，从而 是 的充分而不必要条件．

　　例2  已知 ： ； ： ，则 是 的什么条件？

　　解法1： ： 或 ， ： ； ： 或 ： ．

　　∵ ， ，

　　∴ 是 的充分而不必要条件．

　　解法2： ： ，即 ： ； ： 或 ，

　　解得 ： ．

　　∵ ， ，

　　∴ 是 的充分而不必要条件．

　　解法3： ： 或 ，

 ： 或 ．

　　∵ ， ，

　　∴ 是 的充分而不必要条件．

　　由逆否命题 原命题可知， 是 的充分而不必要条件．

三、要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性

　　对于两个以上的较复杂的连锁命题，要利用传递性、对称性和推理符号判定，画出它们的综合结构图，可降低解题难度，显得直观快捷．

　　例3  若 是 的充分不必要条件， 是 的充分要条件， 是 的必要不充分条件，则 是 的什么条件？

　　解：                ，

                  

                ，

　　∴ ， ，故 是 的充分而不必要条件．

四、要注意充要条件的不唯一性及其形式的多样性

　　同一结论，可以有多个充要条件，并且这些充要条件的表示形式可以不同，如实系数一元二次方程无实数解的充要条件可以是议程的判别式 ，也可以是相应的一元二次函数的图象（抛物线）与 轴没有交点．

　　例4  设全集为 ，在下列条件中，哪些是 的充要条件？

　　（1） ；（2） ；

　　 （3）（ ） ；（4） ；

　　（5） （ ） ．

　　解：作文氏图，利用图形的直观性可知（1）—（5）均是 的充要条件．

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关于“充分、必要条件”的几点注记

湖北省汉川市高级中学   高祖华

　　充分、必要条件是中学数学里的一个生要的逻辑概念，正确地理解好充分条件、必要条件、必要而非充分条件、充分而非必要条件、充要条件，可以迅速清楚地看出命题的条件和结论之间的关系，准确地判断出命题的正误，纠正错误的命题，证明正确的命题，经常运用充分、必要条件分析问题，能培养思维的严密性、逻辑性。学习“充分、必要条件”应注意以下几点：

一、掌握充分、必要、充要条件的概念

　　在命题“若 则 ”中， 是条件， 是结论。

　　如果 ，则 是 的充分条件，的必要条件；

　　如果 ，则 是 的充要条件， 也是 的充要条件。

上述意义可从以下两方面理解：

　　1．明确充分、必要、充要条件不一定都是唯一的

　　例如：（1） 是 的充分条件， 也是 的充分条件。

　　（2） 是 的充分条件， 也是 的充分条件。

　　（3） ≌ 的必要条件，可以是 ，也可以是对应边上的高相等。

　　（4）“四边形是平行四边形”的充要条件可以是“两组对边分别平行”，也可以是“对角线互相平分。”

　　2．学会判定充分、必要条件的双重性

　　由 或 ，前者是后者的充分条件，反之，由 或 ，前者是后者的必要条件，所以， 或 ，前者是后者成立的充要条件，后者也是前者成立的充要条件。

　　借助四种命题之间的关系，可以迅速准确地判断一个命题是否具有充分、必要条件的双重性。

　　（1）原命题与逆命题同时成立，该命题的条件与结论互为充要条件。

　　（2）原命题与否命题同时成立，该命题的条件与结论互为充要条件。

二、用联系的观点学习充要条件

　　1、联系定义、定理

　　数学中每一个定义都包含着一个充要条件，也就是说，只有 是 的充要条件，才能用 去定义 ，根据定义的这个特征，可以检查定义下得是否正确。

　　例如：“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”中的“有一个角是直角的平行四边形”和“矩形”互为充要条件，即可以互相推出，因此可以如此定义“矩形”。

　　定理的条件是结论的充分条件，若也是必要条件，则有其逆定理。

　　2．联系集合来学习

　　若定义集合 、 ： ，则当且仅当 的充分条件， 是 的充分条件， 是 的必要条件。为使条件 、 有意义，一般我们仅讨论 、 是非空集合的情况。

 的一种特殊情况是 ，即集合 和 是同一集合（图2），这种情况下， 且 ，此时 是 的充要条件。因此，若集合 与集合 的描述法表示虽然不同，但如果它们的元素完全相同，则条件 与条件 就可以互相蕴含，即条件 与条件 等价。

　　3．联系推理、论证学习

　　在解题论证时，我们经常运用综合法勤劳分析法。

　　综合法：从充分、必要条件的关系去看，实际上是从已知条件出发，寻求必要条件，一直找到求证的结果。

　　例  已知函数 ， 、 当满足 时，试证明：

　　对于任意实数 、 都成立。

　　证     且 ，               ①

         ②

              （②是①的必要条件）

 ，                    ③

                                               ④

               （④是③的必要条件）

又                          

                     ⑥

    （⑥是由②、④、⑤所构成的条件的必要条件）

　　分析法是由结论出发，每一步都要寻找它的充分条件。

　　对于较复杂的证明，思考时往往将分析法与综合法结合起来使用，也就是既看要使结论成立需要什么，又看由条件可以得出什么，这样就容易找到证明的途径，找出证题途径后，宜用综上所述合法写出证明过程。

　　总之，学习充分、必要条件对增强逻辑思维能力，培养良好的思维习惯具有重要作用，随着数学知识的深入学习，其运用也将更加广泛。

（出自《高中数学教与学》2002年  第8期）