第八节 充分条件与必要条件

教学设计示例

充要条件

教学目标：

　　（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；

　　（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；

　　（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；

　　（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．

教学重点难点：关于充要条件的判断

教学用具：幻灯机或实物投影仪

教学过程设计

1．复习引入

　　练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）：

　　（1）若 ，则 ；

　　（2）若 ，则 ；

　　（3）全等三角形的面积相等；

　　（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；

　　（5）若 ，则 ；

　　（6）若方程 有两个不等的实数解，则 ．

（学生口答，教师板书．）

　　（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题．

　　置疑：对于命题“若 ，则 ”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？

　　答：看 能不能推出 ，如果 能推出 ，则原命题是真命题，否则就是假命题．

　　对于命题“若 ，则 ”，如果由 经过推理能推出 ，也就是说，如果 成立，那么 一定成立．换句话说，只要有条件 就能充分地保证结论 的成立，这时我们称条件 是 成立的充分条件，记作 ．

　　2．讲授新课

　　（板书充分条件的定义．）

　　一般地，如果已知 ，那么我们就说 是 成立的充分条件．

　　提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．

（学生口答）

　　（1）“ ，”是“ ”成立的充分条件；

　　（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；

　　（3）“方程 的有两个不等的实数解”是“ ”成立的充分条件．

　　从另一个角度看，如果 成立，那么其逆否命题 也成立，即如果没有 ，也就没有 ，亦即 是 成立的必须要有的条件，也就是必要条件．

（板书必要条件的定义．）

　　提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．

（学生口答）．

　　（1）因为 ，所以 是 的充分条件， 是 的必要条件；

　　（2）因为 ，所以 是 的必要条件， 是 的充分条件；

　　（3）因为“两三角形全等” “两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；

　　（4）因为“四边形的对角线互相垂直” “四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；

　　（5）因为 ，所以 是 的必要条件， 是 的充分条件；

　　（6）因为“方程 的有两个不等的实根” “ ”，而且“方程 的有两个不等的实根” “ ”，所以“方程 的有两个不等的实根”是“ ”充分条件，而且是必要条件．

　　总结：如果 是 的充分条件， 又是 的必要条件，则称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 ．

（板书充要条件的定义．）

3．巩固新课

　　例1  （用投影仪投影．）

	B	A是B的什么条件	B是 的什么条件
是有理数	是实数
、 是奇数	是偶数
是4的倍数	是6的倍数

（学生活动，教师引导学生作出下面回答．）

　　①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件；

　　② 一定能推出 ，而 不一定推出 ，所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件；

　　③ 、 是奇数，那么 一定是偶数； 是偶数， 、 不一定都是奇数（可能都为偶数），所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件；

　　④ 表示 或 ，所以 是 成立的必要非充分条件；

　　⑤由交集的定义可知 且 是 成立的充要条件；

　　⑥由 知 且 ，所以 是 成立的充分非必要条件；

　　⑦由 知 或 ，所以 是 ， 成立的必要非充分条件；

　　⑧易知“ 是4的倍数”是“ 是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件；

　　（通过对上述问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识．）

　　例2  已知 是 的充要条件， 是 的必要条件同时又是 的充分条件，试 与 的关系．（投影）

　　解：由已知得

，

　　所以 是 的充分条件，或 是 的必要条件．

　　4．小结回授

　　今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了判断条件A是B的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础．

　　课内练习：课本（人教版，试验修订本，第一册（上））第 35页练习l、2；第36页练习l、2．

　　（通过练习，检查学生掌握情况，有针对性的进行讲评．）

　　5．课外作业：教材第36页      习题1.8    1、2、3．