第八节 正弦函数、余弦函数的图象和性质

教学建议

知识结构：

重点与难点分析：

　　本节重点是正弦函数、余弦函数的图像形状及其主要性质（定义域、值域、最值、周期性、奇偶性、单调性）．正弦、余弦函数在实际生活中应用十分广泛，函数的图像和性质是应用的重要基础，也是解决三角函数的综合问题的基础，它能较好的综合三角变换的所有内容，可进一步深入研究其它函数的相关性质．函数图像可以直观的反映函数的性质，因此首先要掌握好函数图像形状特点，使学生将数、形结合对照掌握这两个函数．

　　本节难点是利用正弦线画出函数 的图像，利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，周期函数与最小正周期意义的理解．利用几何法画函数图像学生第一次接触，要先复习正弦线的做法，另外注意讲清正弦线平移后在x轴上对应的角．通过诱导公式可以将正弦、余弦函数建立起关系，利用诱导公式时先将 为了只需要平移就可得到余弦函数．周期函数包含的内容较多，可以先让学生通过正弦、余弦函数图像直观上了解，再通过定义严格说明，定义中x的任意性可与奇偶性的定义对比讲解，周期、最小正周期的概念很抽象，学生理解有些困难，最好将定义分解讲解．

教法建议：

　　1．讲三角函数图象时，由于描点法学生比较熟悉，可以先让学生自己作图，然后介绍几何法，这样既可以让学生对正弦函数图像大致形状有所了解，为后面“五点法”作图奠定基础，又可将两种方法加以对比．

　　2．用几何法作函数 的图像前，首先复习函数线的作法，说明单位圆上的角与x轴上数值的对应关系，作图过程要力求准确，以便学生正确认识曲线的建立过程．此处最好借助多媒体课件演示，表现的既准确又节省时间．得到函数 的图像，利用诱导公式或利用三角函数线，把图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π(即一个最小正周期)，即可得到函数y=sinx，x∈R的图像．余弦函数的图像可以利用诱导公式将余弦与正弦建立联系，但要将x前面的系数保证为正，这样只需要平移即可得到余弦函数的图像．余弦函数的图像的几何作法可让学生课后自己去探索．

　　3．“五点法”作图在三角函数中应用较为广泛，让学生观察函数 的图像，有五个点在确定图象形状时起着关键的作用，即最高点，最低点以及与x轴的交点，因为只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度要求不太高时，常采用先描出这五个点来作函数简图的方法．适当增加些练习使学生熟练掌握这种方法．

　　4．对于函数的周期性，先通过正弦、余弦函数图像的重复出现的特点，让学生对周期有直观的认识，周期函数的定义也可叙述为：当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值(定值可以有很多个)、函数值就重复出现时，这个函数就叫做周期函数．然后再给出严格定义．将定义的分解讲解，使学生理解定义包含的要素，关键词语，如“如果存在”说明不是所有函数都有周期，“T”要满足“非零”和“常数”两个条件，当x取定义域内的每一个值时”这一提法，这里要特别注意“每一个值”四个字．如果函数f(x)不是当x取定义域内的“每一个值”时，都有f(x+T)=f(x)，那么T就不是f(x)的周期．例如 ，但是 ，就是说 不能对于x在定义域内的每一个值都有 ，因此 不是 的周期．最小正周期可让学生按上述分析方法进行分析．另外可把三角函数和奇函数、偶函数象下面这样对比着进行讲解，对学生理解和掌握周期函数概念将是有益的：

如果函数f(x)对于定义域里的每一个值，都有

　　(1)f(-x)=f(x)，那么f(x)叫做偶函数；

　　(2)f(-x)=-f(x)，那么f(x)叫做奇函数；

　　(3)f(x+T)=f(x)，其中T是不为零的常数，那么f(x)叫做周期函数．

　　对 函数的周期，要让学生从周期定义上理解：周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个数，这个数是针对x而言的，如果对2x而言，而每增加2π，sin2x的值就重复出现；但对自变量x而言，每增加π，sin2x的值就能重复出现，因此sin2x的周期是π．如果不设辅助未知数，本例的解答可写为：

　　f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π)，

　　即f(x)中的x以x+π代替，函数值不变，所以sin2x的周期为π．由此可知，三角函数的周期与自变量x的系数有关．

　　5．让学生通过函数图像总结归纳函数的性质定义域、值域、极值、符号、周期性、奇偶性、单调性等，最好以表格的形式将正弦、余弦函数的性质对比得出，使学生在函数图像和性质建立对应关系，这对学生进一步掌握函数y=sinx，y=cosx的性质有很大帮助．因此应要求学生首先要熟悉正弦曲线和余弦曲线．

　　6．要注意数学语言和数学方法的训练，如“必须并且只需”，正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从-1增大到1等．

返回页首