第八节 正弦函数、余弦函数的图象和性质

教学设计示例

4.8  正弦函数、余弦函数的图像和性质（第二课时）

（一）教学具准备

　　直尺，投影仪．

（二）教学目标

　　1．掌握 ， 的定义域、值域、最值、单调区间．

　　2．会求含有 、 的三角式的定义域．

（三）教学过程

　　1．设置情境

　　研究函数就是要讨论一些性质， ， 是函数，我们当然也要探讨它的一些属性．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质．

　　2．探索研究

　　师：同学们回想一下，研究一个函数常要研究它的哪些性质？

　　生：定义域、值域，单调性、奇偶性、等等．

　　师：很好，今天我们就来探索 ， 两条最基本的性质——定义域、值域．（板书课题正、余弦函数的定义域、值域．）

　　师：请同学看投影，大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像．

　　师：请同学思考以下几个问题：

　　（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？

　　（2）正弦、余弦函数的值域是什么？

　　（3）他们最值情况如何？

　　（4）他们的正负值区间如何分？

　　（5） 的解集如何？

　　师生一起归纳得出：

　　（1）正弦函数、余弦函数的定义域都是 ．

　　（2）正弦函数、余弦函数的值域都是 即 ， ，称为正弦函数、余弦函数的有界性．

　　（3）取最大值、最小值情况：

　　正弦函数 ，当 时，（ ）函数值 取最大值1，当 时，（ ）函数值 取最小值－1．

　　余弦函数 ，当 ，（ ）时，函数值 取最大值1，当 ，（ ）时，函数值 取最小值－1．

　　（4）正负值区间：

　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　 （ ）

　　（5）零点： （ ）

　　　　　　　 （ ）

　　3．例题分析

　　【例1】求下列函数的定义域、值域：

　　（1） ；　（2） ；　（3） ．

　　解：（1） ，

　　（2）由 （ ）

　　又∵ ，∴

　　∴定义域为 （ ），值域为 ．

　　（3）由 （ ），又由

　　∴

　　∴定义域为 （ ），值域为 ．

　　指出：求值域应注意用到 或 有界性的条件．

　　【例2】求下列函数的最大值，并求出最大值时 的集合：

　　（1） ， ；　（2） ， ；

　　（3） 　　（4） ．

　　解：（1）当 ，即 （ ）时， 取得最大值

　　∴函数的最大值为2，取最大值时 的集合为 ．

　　（2）当 时，即 （ ）时， 取得最大值 ．

　　∴函数的最大值为1，取最大值时 的集合为 ．

　　（3）若 ， ，此时函数为常数函数．

　　若 时， ∴ 时，即 （ ）时，函数取最大值 ，

　　∴ 时函数的最大值为 ，取最大值时 的集合为 ．

　　（4）若 ，则当 时，函数取得最大值 ．

　　若 ，则 ，此时函数为常数函数．

　　若 ，当 时，函数取得最大值 ．

　　∴当 时，函数取得最大值 ，取得最大值时 的集合为 ；当 时，函数取得最大值 ，取得最大值时 的集合为 ，当 时，函数无最大值．

　　指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对 或 的系数进行讨论．

　　思考：此例若改为求最小值，结果如何？

　　【例3】要使下列各式有意义应满足什么条件？

　　（1） ；　　（2） ．

　　解：（1）由 ，

　　∴当 时，式子有意义．

　　（2）由 ，即

　　∴当 时，式子有意义．

　　4．演练反馈（投影）

　　（1）函数 ， 的简图是（      ）

　　（2）函数 的最大值和最小值分别为（     ）

　　A．2，－2       B．4，0        C．2，0         D．4，－4

　　（3）函数 的最小值是（     ）

　　A．          B．－2          C．           D．

　　（4）如果 与 同时有意义，则 的取值范围应为（     ）

　　A．       B．       C．       D． 或

　　（5） 与 都是增函数的区间是（      ）

　　A． ，                B． ，

　　C． ，           D． ，

　　（6）函数 的定义域________，值域________， 时 的集合为_________．

参考答案：1．B   2．B   3．A  4．C  5．D 

6． ； ；

5．总结提炼

　　（1） ， 的定义域均为 ．

　　（2） 、 的值域都是

　　（3）有界性：  

　　（4）最大值或最小值都存在，且取得极值的 集合为无限集．

　　（5）正负敬意及零点，从图上一目了然．

　　（6）单调区间也可以从图上看出．

（五）板书设计

1．定义域 2．值域 3．最值 4．正负区间 5．零点 例1

例2 例3 课堂练习

　　课后思考题：求函数 的最大值和最小值及取最值时的 集合

　　提示：

教学设计示例

4.8  正弦函数、余弦函数的图像和性质（第三课时）

（一）教学具准备

　　直尺、投影仪．

（二）教学目标

　　1．理解 ， 的周期性概念，会求周期．

　　2．初步掌握用定义证明 的周期为 的一般格式．

（三）教学过程

　　1．设置情境

　　自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等．数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角 的终边每转一周又会与原来的位置重合，故 ， 的值也具有周而复始的变化规律．为定量描述这种周而复始的变化规律，今天，我们来学习一个新的数学概念——函数的周期性（板书课题）

　　2．探索研究

　　（1）周期函数的定义

　　引导学生观察下列图表及正弦曲线

					0
	0	1	0	－1	0	1	0	－1	0

　　正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现．

　　联想诱导公式 ，若令 则 ，由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：

　　对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数 叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期．

　　如 ， ，…及 ， …都是正弦函数的周期．

　　注意：周期函数定义中 有两点须重视，一是 是常数且不为零；二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立．

　　师：请同学们思考下列问题：①对于函数 ， 有 能否说 是正弦函数 的周期．

　　生：不能说 是正弦函数 的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等式 成立，所以不符合周期函数的定义．

　　② 是周期函数吗？为什么

　　生：若是周期函数，则有非零常数 ，使 ，即 ，化简得 ，∴ （不非零），或 （不是常数），故满足非零常数 不存在，因而 不是周期函数．

　　思考题：若 为 的周期，则对于非零整数 ， 也是 的周期．（课外思考）

　　（2）最小正周期的定义

　　师：我们知道…， ， ， ， …都是正弦函数的周期，可以证明 （ 且 ）是 的周期，其中 是 的最小正周期．

　　一般地，对于一个周期函数 ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期．

　　今后若涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期．

　　依据定义， 和 的最小正周期为 ．

　　（3）例题分析

　　【例1】求下列函数的周期：

　　（1） ， ；　　（2） ， ；

　　（3） ， ．

　　分析：由周期函数的定义，即找非零常数 ，使 ．

　　解：（1）因为余弦函数的周期是 ，所以自变量 只要并且至少要增加到 ，余弦函数的值才能重复取得，函数 ， 的值也才能重复取得，从而函数 ， 的周期是 ．

即 ，∴

　　（2）令 ，那么 必须并且只需 ，且函数 ， 的周期是 ，就是说，变量 只要并且至少要增加到 ，函数 ， 的值才能重复取得，而 所以自变量 只要并且至少要增加到 ，函数值就能重复取得，从而函数 ， 的周期是 ．

　　即 

　　∴

　　（3）令 ，那么 必须并且只需 ，且函数 ， 的周期是 ，由于 ，所以自变量 只要并且至少要增加到 ，函数值才能重复取得，即 是能使等式 成立的最小正数，从而函数 ， 的周期是 ．

　　而

　　∴

　　师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量 的系数有关，其规律如何？你能否求出函数 ， 及函数 ， （其中 ， ， 为常数，且 ， ）的周期？

　　生：

　　∴ ．

　　同理可求得 的周期 ．

　　【例2】求证：

　　（1） 的周期为 ；

　　（2） 的周期为 ；

　　（3） 的周期为 ．

　　分析：依据周期函数定义 证明．

　　证明：（1）

　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　

　　∴ 的周期为 ．

　　（2）

　　　　　　　　　

　　∴ 的周期为 ．

　　（3）

　　　　　　　　　

　　∴ 的周期为 ．

　　3．演练反馈（投影）

　　（1）函数 的最小正周期为（      ）

　　A．　　B．　　C．　　D．

　　（2） 的周期是_________

　　（3）求 的最小正周期．

参考答案：

　　（1）C；（2）   ∴

　　（3）欲求 的周期，一般是把三角函数 化成易求周期的函数 或 的形式，然后用公式 求最小正周期，而化得的一般思路是“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数．

　　由

　　

　　4．总结提炼

　　（1）三角函数所特有的性质是周期性，周期与最小正周期是不同概念，研究三角函数的周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期．

　　（2）设 ， ．若 为 的周期，则必有：① 为无限集，② ；③ 在 上恒成立．

　　（3）只有 或 型的三角函数周期才可用公式 ，不具有此形式，不能套用．如 ，就不能说它的周期为 ．

（四）板书设计

课题 1．周期函数定义 两点注意： 思考问题① ② 2．最小正周期定义 例1

例2 的周期 的周期 练习反馈 总结提炼

　　思考题：设 是定义在 上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当 时， ，求 上的表达式

　　参考答案：

教学设计示例

4.8  正弦函数、余弦函数的图像和性质（第一课时）

（一）教学具准备

　　直尺、圆规、投影仪．

（二）教学目标

　　1．了解作正、余弦函数图像的四种常见方法．

　　2．掌握五点作图法，并会用此方法作出 上的正弦曲线、余弦曲线．

　　3．会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像．

（三）教学过程（可用课件辅助教学）

　　1．设置情境

　　引进弧度制以后， 就可以看做是定义域为 的实变量函数．作为函数，我们首先要关注其图像特征．本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法．

　　2．探索研究

　　（1）复习正弦线、余弦线的概念

　　前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法，请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？（师画图1）

　　设任意角 的终边与单位圆相交于点 ，过点作 轴的垂线，垂足为 ，则有向线段 叫做角 的正弦线，有向线段 叫做角 的余弦线．

　　（2）在直角坐标系中如何作点

　　由单位圆中的正弦线知识，我们只要已知一个角 的大小，就能用几何方法作出对应的正弦值 的大小来，请同学们思考一下，如何用几何方法在直角坐标系中作出点 ？

　　教师引导学生用图2的方法画出点 ．

　　我们能否借助上面作点 的方法在直角坐标系中作出正弦函数 ， 的图像呢？

　　 ①用几何方法作 ， 的图像

　　我们知道，作函数的图像的步骤是：列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点的坐标，就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确，使得描点后画出的图像误差也大，为克服这一不足，我们用前面作点 的几何方法来描点，从而使图像的精确度有了提高．

　　（边画图边讲解），我们先作 在 上的图像，具体分为如下五个步骤：

　　a．作直角坐标系，并在直角坐标系中 轴左侧画单位圆．

　　b．把单位圆分成12等份（等份越多，画出的图像越精确）．过单位圆上的各分点作 轴的垂线，可以得到对应于0， ， ， ，…， 角的正弦线．

　　c．找横坐标：把 轴上从0到 （ ）这一段分成12等分．

　　d．找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应12个点．

　　e．连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即得 ， 的图像．

　　②作正弦曲线 ， 的图像．

　　图为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数 ， ， 且 的图像与函数 ， 的图像的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数 ， 的图像向左、右平移（每次 个单位长度），就可以得到正弦函数数 ， 的图像，如图1．

　　正弦函数 ， 的图像叫做正弦曲线．

　　③五点法作 ， 的简图

　　师：在作正弦函数 ， 的图像时，我们描述了12个点，但其中起关键作用的是函数 ， 与 轴的交点及最高点和最低点这五个点，你能依次它们的坐标吗？

　　生：（0，0）， ， ， ，

　　师：事实上，只要指出这五个点， ， 的图像的形状就基本确定了，以后我们常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图．

　　④用变换法作余弦函数 ， 的图像

　　因为 ，所以 ， 与 是同一个函数，即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 个长度单位角得到，余弦函数的图像叫做余弦曲线，如图2，师：请同学们说出在函数 ， 的图像上，起关键作用的五个点的坐标．

　　生：（0，1）， ， ， ，

　　3．例题分析

　　【例1】画出下列函数的简图：

　　（1） ， ；

　　（2） ， ．

　　解：（1）按五个关键点列表

	0
	0	1	0	－1	0
	1	2	1	0	1

利用五点法作出简图3

　　师：请说出函数 与 的图像之间有何联系？

　　生：函数 ， 的图像可由 ， 的图像向上平移1个单位得到．

　　（2）按五个关键点列表

	0
	1	0	－1	0	1
	－1	0	1	0	－1

　　利用五点法作出简图4

　　师： ， 与 ， 的图像有何联系？

　　生：它们的图像关于 轴对称．

练习：

　　（1）说出 ， 的单调区间；

　　（2）说出 ， 的奇偶性．

参考答案：（1）由 ， 图像知、 ， 为其单调递增区间， 为其单调递减区间

　　（2）由 ， 图像知 是偶函数．

4．总结提炼

　　（1）本课介绍了四种作 ， 图像的方法，其中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点．

　　（2）用平移诱变法，由 这不是新问题，在函数一章学习平移作图时，就使用过，请同学们作比较．应该说明的是由 平移量是不惟一的，方向也可左可右．

5．演练反馈，（投影）

　　（1）在同一直角坐标系下，用五点法分别作出下列函数的图像

　　① ， 　　② ，

　　（2）观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的 的区间．

　　① ，　　② ，　　③ ，　　④

　　（3）画出下列函数的简图

　　① ，   ② ，   ③ ，

参考答案：

（1）

（2）① ， ，   ② 、 ，

　　③    ④

（3）

　　

（五）板书设计

课题 1．正、余弦函数线 2．作点 3．作 ， 的图像 4．五点法作正弦函数图像

5．变换法作 的图像 6．五点法作余弦函数图像 7．例题 （1） （2） 演练反馈

总结提炼