第八节 正弦函数、余弦函数的图象和性质
例1.求函数 的定义域.
分析:要求 ,即 ,因为正弦函数具有周期性,所以只需先根据正弦曲线在一个周期上找出适合条件区间,然后两边加 .
解:由题意 ,
即 .
在一周期 上符合条件的角为 ,
∴定义域为 .
小结:解题时注意结合正弦曲线,而由于正弦函数的周期性,只需先在一个周期上求范围,这个周期的长度为 ,并非一定取 ,而应该是否得到一个完整区间为标准,如本题若在 上求范围则分为两段 和 ,不如在 上是完整的一段.
例2.求函数 的定义域。
分析:上述函数从形式上看是一个较为复杂的复合函数,它是由三角函数、二次函数、对数函数复合而成。求定义域时,应分清脉络,逐一分析,综合得出结论。
解:欲求函数定义域,则由
即 也即
解得
取 、0、1,可分别得到
或 或 。
即所求的定义域为 。
小结:在解本题时,容易出现的失误是,由 ,得 或 ;或在解不等式组 时出现错误,如得出函数的定义域为 或 等。
解类似本例的问题,其关键在于求出两个或更多个不等式的公共解。而求公共解,如能借助于图形,由数形结合,往往可以事半功倍。具体方法一般可借助于数轴、单位圆或三角函数的图像来完成。如图甲、乙所示。
例3.求下列函数的值域:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
分析:(1)先利用降幂公式,将其化为一个角的一个三角函数式,再根据三角函数性质求其值域;(2)可利用降幂公式,倍角公式,差角公式,化为一个角的一个三角函数其值域;(3)利用配方法,并结合二次函数、正弦函数的性质求解;(4)从反函数观点出发,借助于余弦函数的有界性求解.
解:(1) .
∵ ,∴ .
将其利用降幂公式化为一个角的一个三角函数形式,然后利用三角函数的性质求值域.
(2)
∵ ,
∴ .
利用了降幂公式和倍角公式,将其化为一个角的一个三角函数的形式.
(3) .
将其看做关于 的二次函数,注意到 ,
∴当 时, .
当 时, ,
∴ .
本题结合了二次函数求极值,但应注意 的取值范围.
(4)由原式得 .
∵ ,∴ .
∴ 或 .
值域为 .
小结: 配方法、化一法、逆求法、有界性法等,是求三角函数值域常用的几种方法.相信你会从此题的求解过程中,领悟到这一点.
例4.求函数 的单调减区间.
分析:容易想到将函数转化为 ,换元令 ,进而转化为 .
解: .
令 ,则 .
由正弦函数的单调性,知
当 ( )时,函数递减,
即 ( ),
∴ ( ).
∴函数的单调减区间是 ( ).
小结:本题通过换元,将函数 化为 ,充分体现了转化的数学思想.
例5.作函数 的图像。
分析:首先将函数的解析式变形,化为最简形式,然后作函数的图像。
解:当 ,即 时,有 ,即 。其图像如图,
小结:函数 的图像即是 的图像,因此作出 的图像后,要把 的这些点去掉。
例6.已知 ,(a、b为常数),且 ,求 。
分析:要求函数值,需知函数解析式,因含a、b两个参数,一个条件 难确定。深入分析 与 的内在联系,应向函数奇偶性联想。注意到 为奇函数,问题自可获解。
解:因为 ,所以 为奇函数,所以 ,
所以 。
小结:(1)判断函数奇偶性时应注意“定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件”的应用。
(2)函数奇偶性的确定,可使研究问题的条件增加,从而使问题难度变小,尤其是自变量互为相反数时的函数值关系问题,可考虑奇偶性的应用。