第四节 平面向量的坐标运算

教学设计示例（第一课时）

一．教学目标

　　1．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；

　　2．掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；

　　3．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力.

二．教学重点  理解平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算．

　　教学难点  对平面向量坐标表示的理解．

三．教学具准备

　　直尺、投影仪

四．教学过程

　　1．设置情境

　　师：平面内有点 ，点 ，能否用坐标来表示向量 呢？这就是我们今天要学习的平面向量的坐标运算．

　　（板书课题）平面向量的坐标运算

　　2．探索研究

　　（1）师：平面向量的基本定理的内容是什么？什么叫平面向量的基底？

　　生：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 、 ，使

　　我们把不共线的向全 、 叫做这一平面内所有向量的一组基底，这就是平面向全的基本定理．

　　师：如果在直角坐标系下，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得

　　我们就把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作；

 

　　这就叫做向量的坐标表示

　　显然i＝（1，0）  j＝（0，1）  0＝（0，0）

　　  如图（1）所示，以原点O为起点与向量a相等的向量 ，则A点的坐标就是向量a的坐标，反之设 ，则点A的坐标（x，y）也就是向量 的坐标．

问题： 1°已知 (x₁, y₁)   (x₂, y₂)   求 + ， - 的坐标

　　　2°已知 (x, y)和实数λ,   求λ 的坐标

　　解： + =(x₁ +y₁ )+( x₂ +y₂ )=(x₁+ x₂) + (y₁+y₂)

　　即： + =(x₁+ x₂,  y₁+y₂)

　　同理： - =(x₁- x₂,  y₁-y₂)

　　结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

　　用减法法则：   

　　∵ = - =( x₂, y₂) - (x₁,  y₁)

　　　　　= (x₂- x₁, y₂- y₁)

　　实数与向量积的坐标运算：已知 =(x, y)   实数λ

　　则λ =λ(x +y )=λx +λy

　　∴λ =(λx, λy)

　　结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。

　　师：如果两个向量相等，那么这两个向量的坐标需满足什么条件呢？是充要条件吗？

　　生：a=b ．

　　（2）例题分析

　　【例1】  如图所示，用基底i、j分别表示向量a、b、c、d并求出它们的坐标。

　　解：

　　　　

　　师：平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？如何计算？

　　（1）已知 ，求 、 。

　　（2）已知 和实数 ，求 的坐标（由学生完成）。

　　解：（1）

　　∴

　　　

　　（2）

　　∴

　　师：通过以上计算，你能得出向量运算的加法法则、减法法则和实数与向量的乘积的运算法则吗？

　　生：两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应的坐标的和与差，实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的相应坐标。

　　【例2】  已知 ，求 ， ， 的坐标。

　　解：

　　　　

　　【例3】  已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。

　　解：设顶点D的坐标为

　　

　　由   得

　　由

　　∴顶点D的坐标为（2，2）

　　3．演练反馈。（投影仪）

　　（1）已知三个力 的合力 ，求 的坐标。

　　（2）已知向量 ，则 等于（   ）

　　A． 　　B．

　　C． 　D．

　　（3）已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及 ，求

　　①t为何值时，点P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？

　　②四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t值，若不能，请说明理由。

参考答案：

　　（1）

　　

　　∴

　　（2）B．

　　（3）① ，若P在x轴上，只需 ；若P在y轴上，只需 ∴ ；若P在第二象限，则需 解得 。

　　②

　　若OABP为平行四边形，需

　　于是 无解。故四边形OABP不能成为平行四边形。

　　4．总结提炼

　　（1）引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域之中。

　　（2）要把点坐标 与向量坐标区分开来，两者不是一个概念。

五．板书设计

1．平面向量的坐标定义。     （1） （2）i、j的含义 （3） 是a的坐标 2．平面向量坐标运算

例1 例2 演练反馈 总结提炼

教学设计示例（第二课时）

一．教学目标

　　1．熟练掌握向量的坐标运算，并能应用它来解决平面几何的有关问题．

　　2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；

二．教学重点  向量共线充要条件的坐标表示及应用．

　　教学难点  向量与坐标之间的转化．

三．教学具准备

　　直尺、投影仪

四．教学过程

　　1．设置情境

　　引进直角坐标系后，向量可以用坐标表示．那么，怎样用坐标反映两个向量的平行？如何用坐标反映几何图像的结合关系？本节课就这些问题作讨论．

　　2．探索研究

　　（1）师：板书或投影以下4个习题：

　　①设 ，则

　　②向量a与非零向量b平行（共线）的充要条件是           ．

　　③若M（3，－2），N（－5，－1）且 ，则点P的坐标为              ．

　　A．（－8，－1）  B．   C．   D．（8，－1）

　　④已知A（0，1），B（1，2），C（3，4），则

参考答案：

　　（1）     

　　（2）有且只有一个实数 ，使得   （3）B  （4）（－3，－3）

　　师：如何用坐标表示向量平行（共线）的充要条件？会得到什么重要结论？（引导学生）

　　生：设

　　   

　　师：很好！这就是说 的充要条件是 （板书或投影）．向量平行（共线）充要条件的两种表示形式．

　　（1）

　　（2）  

　　（2）例题分析

　　【例1】  已知 ，且 ，求y．

　　解：∵

　　∴

　　∴

　　【例2】  已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），求证A、B、C三点共线．

　　证：

　　

　　又 ，

　　　∴

　　又∵直线AB和直线AC有公共点A

　　　∴A、B、C三点共线

　　【例3】  若向量 与 共线且方向相同，求x．

　　解：∵   共线，

　　　　∴

　　　　∴ ．

　　　　∵a与b方向相同，

　　　　∴

　　师：若 ，不合条件吗？

　　生：∵若 ，则

　　∴

　　∴a与b反向与已知符．

　　【例4】  已知点A（－1，－1），B（1，3），C（1，5），D（2，7），向量 与 平行吗？直线AB与CD平行吗？

　　师：判断两向量是否平行，需要哪个知识点．

　　生：用两向量 平行的充要条件是

　　解：

　　又  2×2－4×1＝0，

　　∴ ．

　　又 

　　且  2×2－2×6≠0，

　　∴ 与 不平行．

　　∴A、B、C三点不共线，AB与CD不重合．

　　∴直线AB与CD平行．

　　3．演练反馈（投影）

　　（1）A（0，1），B（1，0），C（1，2），D（2，1）

　　求证： ．

　　（2）已知向量 且 ，则 等于（  ）

　　A．3  B．   C．   D．－3

参考答案：（1）先证 ，再证A、B、C、D四点不共线；（2）C

　　4．总结提炼

　　本节课我们主要学习了平面向量平行的坐标表示，要掌握平面向量平行的充要条件的两种形式，会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行（重合）．

五．板书设计