第四节 平面向量的坐标运算
例1.设向量 , , ,则“ ∥ ”是“ ”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
分析:根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可.
解:若 ∥ ,∵ ,则 ,代入坐标得: ,即 且 .
消去r,得
反之,若 ,则 且
即
则 ,
∴ ∥
∴“ ∥ ”是“ ”的充要条件.
答案C.
小结:本题意在巩固向量平行的坐标表示.
例2.已知 =(1,-1), =(-1,3), =(3,5),求实数x、y,使 =x +y .
分析:根据向量坐标运算和待定系数法,用方程思想求解即可.
解:由题意有
x +y =x(1,-1)+y(-1,3)=(x-y,-x+3y).
又 =(3,5)
∴ x-y=3且-x+3y=5
解之得 x=7 且y=4
小结:在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法.
例3.已知A(-1,2),B(2,8), = , =- ,求点C、D和向量 的坐标.
分析:待定系数法设定点C、D的坐标,再根据向量 , 和 关系进行坐标运算,用方程思想解之.
解:设C、D的坐标为( )、( ),由题意得
=( ), =(3,6)
=( ), = (-3,-6)
又 = , =-
∴(x1+1,y1-2)= (3,6), (-1-x2,2-y2)=- (-3,-6)
即 ,
∴ 且 , 且
∴ 且 , 且
∴点C、D和向量 的坐标分别为(0,4)、(-2,0)和(-2,-4)
小结:本题涉及到方程思想,对学生运算能力要求较高.
例4.已知任意四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,如图1,
求证: = ( + ).
证法一:
∵E、F分别是AD、BC的中点
∴ + = + =
又 = + +
= + +
两式相加得
2 = +
即 = ( + ).
证法二:在平面内任取一点O(如图2),
∵E、F分别是AD、BC的中点
∴ = ( + )
= ( + )
∴ = -
= [( - )+( - )]= ( + )
∴ = ( + ).
证法三:建立直角坐标系A( ),B( ),C( ),D( )
则 =( ), =( )
∴ ( + )=( , )
又 E( , ),F( , )
则 =( - , - )
∴ = ( + ).
小结:本题证法较多,利于开阔学生思路,同时三种证法各有千秋,证法二和证法三都是向量中常用方法,还有一定美感.
例5.已知向量 ,且 ,求 。
分析:分别求出向量u与v的坐标以后,再根据向量平行的坐标表示进行求解。
解法一:据已知可得
由 ,知存在 ,使 ,即
也即 解得 。
解法二:由解法一知,
∵ ,∴ ,得 。
小结:向量共线定理在向量解题中有较广泛地应用,但在具体应用中,使用其两种形式的哪一种,要视具体情况来决定。如在本例中,显然使用其坐标形式解题过程简捷一些。