第四节 直线与平面垂直的判定和性质

（一）教材分析
1．知识结构

2．重点难点分析
　　重点：直线和平面垂直的判定定理和性质定理、直线与平面间的距离以及直线和平面所成的角；难点：线面垂直的判定定理的证明、直线与平面的距离以及直线和平面所成角的求法所渗透的转化思想、三垂线定理的证明．
　　（1）直线和平面垂直的判定定理
　　直线与平面垂直的判定定理的证明，是所有直接法证明中最难的之一，因为证明时，既要“用两条相交直线”去代替“任何一条直线”，又要在空间进行三次三角形全等的证明，这种证明过程，其实是由平面的轴对称转换为空间的镜面对称的过程，过去基本没有接触过，所以是教学的重点也是难点。
　　对线面垂直判定定理的证明，应先着力以对称的观点去认识垂直：对平面的垂线上以垂足为中点的线段而言，平面上过垂足的直线都是它的对称轴，即线段的中垂面是到线段两端点距离相等的点的集合．因此，线面的垂直即直线关于平面的镜面对称．有了镜面对称的概念，判定定理的证明就会显得自然．
　　判定定理可以概括为“线线垂直 线面垂直”，但一定要注意“线线垂直”中第一个“线”表示平面外的直线，第二个“线”表示平面内的两相交直线。
　　（2）射影的概念和方法是立体几何的重要内容之一，先要搞清各种射影的概念：点在平面上的射影、任意图形在平面上的射影、直线在平面上的射影的各种情况．
　　在理解和掌握图形在平面上的射影的概念时，应该注意以下几点：
　　①一个点在一个平面内的射影就是从这点到这平面所作垂线的垂足．
　　②一条线在一个平面内的射影，就是这条线上所有的点在这平面内的射影的集合．
　　③当图形在平面上的射影是一个点时，这个图形不一定是一个点．
　　④当图形在平面上的射影是一条直线时，这个图形不一定是一条直线．
　　（3）直线和平面所成角：
　　应当注意到，斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内经过斜线足的直线所成角中最小的角．
　　通过归纳，抽象出“直线和平面所成的角”的概念．即“直线和平面所成的角”有锐角、直角和零角三种情况，亦是其的取值区间是 ．
　　（4）三垂线定理：
　　三垂线定理及其逆定理是研究空间直线与直线互相垂直的有力工具．很多空间图形的问题都是通过这两个定理转化为平面图形的问题而得到解决的．它是判断直线与直线垂直的重要方法之一。在学习三垂线定理的过程中，感到困难的是分辨不清直线与直线之间的位置关系．为此要注意以下几个方面：
　　①如果平面 内的直线 垂直于斜线 在 内的射影 ，那么它必垂直于斜线， ，且垂直于斜线 及其射影 所确定的平面 。
　　②三垂线定理中确有一直线与三条直线相互垂直的位置关系．即：平面内的一条直线与平面的垂线、斜线以及斜线在平面内的射影都垂直．
　　③三垂线定理实质上是平面内直线与平面的斜线互相垂直的判定定理．
　　④关于三垂线定理及其逆定理的图形（其中 且 或 ），有以下四种情况：
　　如图1所示，直线 可能过 点；如图2所示，直线 可能与 相交；如图3所示，直线 可能与 的延长线相交；如图4所示，直线 可能与 的延长线相交．

　　在运用三垂线定理时，切不要只习惯于某种情况的图形．
（二）教法建议
　　（1）设置情境，观察生活中与线面垂直有关的现象。建议让学生观察、思考：教室内直立的墙角线和地面的位置关系是什么？直立于地面的旗杆和地面的位置关系又是什么？还可以让学生看一个演示实例：将书打开直立在桌面上，观察书脊和桌面上任何直线的位置关系．从而使学生在头脑中产生直线和平面垂直的初步形象，并以此引出课题．
　　（2）直线和平面垂直的判定定理证明过程比较复杂，在证明定理之前，建议注意复习以下几个知识点：①平面几何中的线段垂直平分线的性质，②异面直线所成角的概念，③怎样证明两条直线互相垂直．
　　（3）设置问题，层层深入，启发学生思考。讲解线面垂直的判定定理时，可以让学生思考以下几个问题：一条直线垂直于平面内的一条直线，可以推出怎样的结论？（垂直于平面内的一组平行线）一条直线垂直于平面内的两条直线，又可推出怎样的结论？（如这两条直线相交，那么直线将垂直于平面内所有直线即垂直于平面）．
　　（4）建议用三垂线定理及其逆定理深化射影的知识和方法，如讨论：怎样在正方体中找与一条对角线垂直的面对角线？讨论当四面体的一个顶点在对面上的射影分别是垂心、外心、内心的情况．

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