第四节 直线与平面垂直的判定和性质

教学设计方案一

9.4  直线与平面垂直的判定和性质 第一课时

教学目标
　　1．理解线面垂直的定义．
　　2．掌握线面垂直的判定定理并能简单进行应用．
教具准备：三角板．
教学过程：
［设置情境］
　　复习“两条直线互相垂直的定义”并让学生观察、思考：教室内直立的墙角线和地面的位置关系是什么？直立于地面的旗杆和地面的位置关系又是什么？从而使学生在头脑中产生直线和平面垂直的初步形象，并以此引出课题．
［探索研究］
1．直线和平面垂直的定义
　　为使学生从感性认识逐步上升到理性认识，展开以下问题：
　　（1）阳光下，旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少？
　　（2）随着时间的变化，影子的位置会移动，而旗杆与影子所成的角度是否会发生改变呢？
　　（3）旗杆 与地面上任意一条不过点 的直线的位置关系又是什么？所成的角为多少？
　　再让学生看一个演示实例：将书打开直立在桌面上，观察书脊和桌面上任何直线的位置关系．
　　根据两个实例的结论，让学生归纳、概括出线面垂直的定义．
　　如果一条直线 和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 和平面 互相垂直，记作 ，直线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面．若 与 互相垂直，则 与 一定相交，交点叫做垂足，任意 ，都有 ．
2．两个真命题
以下两个真命题，可以当作“定理”直接应用．
　　（1）过一点有且只有一条直线和一个平面垂直．
　　（2）过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．
3．直线和平面垂直的判定
　　学习了线面垂直的定义，对于直线 和平面 ， 垂直于 内的任意一条直线，用这个定义，我们可以判定直线和平面垂直，先看一个例子．
　　例题  求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
　　已知： ， ，图1．
　　求证： ．
　　证明：设 是 内的任意一条直线．
．
　　例1  给出了判定直线和平面垂直的一个命题，以后我们可以直接利用它来判定直线和平面垂直．
　　在讲线面垂直的判定定理前，先提出以下两个问题让学生思考：
　　（1）如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直？
　　（2）如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线是否和平面垂直？
　　学生不难得出结论：如果一条直线和一个平面内的一条或两条平行直线垂直，那么此直线不一定和平面垂直．紧接着，提问：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线是否和平面垂直？而后，引出直线和平面垂直的判定定理．
　　直线和平面垂直的判定定理  如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
　　已知： ， ， ， ， ．
　　求证： ．
　　教师可从以下三个方面引导学生进行分析：
　　（1）要证 ，根据定义，转化为证明垂直于平面内的任意一条直线 （第一次转化）．接下来应让学生清楚 之间的位置关系有哪几种（分类）．通过提问，让学生思考，并鼓励学生主动、踊跃来回答．之后，投影显示四种情况（图2）：

图2

启发学生，只要证明了图（1）的情况，根据异面直线所成的角，其他三种情况也就得证了．
　　下面对图（1）进行分析
　　（2）构造平面图形解决问题（第二次转化）：
　　先对直线 分类：（ⅰ）当 与 （或 ）重合，命题即可得证．（ⅱ）当 与 、 都不重合时，启迪学生：如果能证明 是 上某条线段的中垂线，问题就解决了．根据对称性，让学生找到线段 ．接下来，证明的关键是：证明 上一点（ 点除外）到点 、 的距离相等．需要添加什么样的辅助线？提示学生：在平面 内作一条直线 ，与直线 、 、 分别相交于 ，会怎样？由此，连结 ，通过两次三角形全等得到 ，从而证得 是线段 的中重线，即得 ．（图（5））
　　（3）如果 中有一条或两条不经过点 （其他三种情况），由前面的分析容易得证（第三次转化）．
　　证明方法的书写可参照课本第22页．
［演练反馈］
　　1． ， ，则 与 的位置关系是（      ）
　　A． B．
　　C． 与 垂直相交　　　D． 与 垂直且异面
2．若直线 不垂直于平面 ，那么在平面 内（      ）
　　A．不存在与 垂直的直线　　　B．只存在一条与 垂直的直线
　　C．存在无数条直线与 垂直 　　D．以上都不对
3．在正方体 中，与 垂直的平面是（      ）
　　A．平面 B．平面
　　C．平面 D．平面
4．如图3，已知 平面 ， 是⊙ 的直径， 是⊙ 上的任一点，求证： ．

图3

5．如图4，已知 ， 于 ， 于 ， 于点 ，求证： ．

图4

6．如图5，已知异面直线 ， ， ， 是 的公垂线，求证 ．

图5

7．课本P23练习1．（1）（2）（3），2，3．

［参考答案］
1．B  2．C  3．B
4．提示：证明 、 ．
5．提示：连结 ，先证 面 ，得到 ，再证 平面 ．
6．提示：令 与 确定的平面交 于直线 ，令 与 确定的平面交 于直线 ，由已知可证 ， 从而 ， ．
7．1．（1）√  （2）×    （3）√
　　2．提示：利用线面垂直的判定定理证．
　　3．提示：利用 中直角边小于斜边证．

［总结提炼］
　　只有当直线和平面内任意一条直线都垂直时，才定义直线和平面垂直，但这种定义不方便证明线面垂直，线面垂直的判定定理解决了这个问题，只要发现平面内两条相交直线都和某直线垂直就行了．
布置作业：课本P28 习题9.4  1．（1）（2）（4），2，3，4，5．
板书设计：

1．线面垂直的定义       2．线面垂直的判定定理 例题

教学设计方案二

9.4 直线与平面垂直的判定和性质 第二课时

教学目标：
　　1．理解点到平面的距离，直线和平面平行时线面间距离的概念．
　　2．掌握直线和平面垂直的性质定理．
　　3．能应用线面垂直的定义及线面垂直的判定定理解题．
教具准备：三角板、投影胶片．
教学过程：
［设置情境］
　　在 的前提下，当 时 ，那么它的逆命题成立吗？
［探索研究］
1．直线和平面垂直的性质定理
　　直线和平面垂直的性质定理  如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
　　此定理是上一节课的例题的逆命题．
　　已知： ， ．求证： ．

　　证明：如图1．
　　假设 ．设 ， 是经过 与直线 平行的直线．
　　∵ ，
　　∴
　　即经过同一点 的两条直线 、 都垂直于平面 ，而这是不可能的．
　　因此， ．
2．点到平面的距离
　　从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．
3．直线和平面的距离
　　一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
4．例题分析
　　例1  已知一条直线 和一个平面 平行，求证：直线 上各点到平面 的距离相等．（如图2）
　　证明：过直线 上任意两点 分别引平面 的垂线 、 ，垂足分别为 、
　　∵ ，
　　∴
　　设经过直线 和 的平面为 ，
　　∵
　　∴
　　∴
　　由 是直线 上任意的两点，可知直线 上各点到平面 的距离相等．
　　例2  已知：异面直线 互相垂直，且 ， ， 为垂足．
　　求证： ．（图3）
　　证明：在直线 上任取一点 （异于点 ）
　　过 作直线
　　则 ， 、 确定平面
　　∴ 与 交于过 点的直线
　　∵
　　又 ，且 均在平面 内
　　∴
 ．
　　例3  如图4，直角 所在平面外有一点 ， ，且 为斜边 的中点．
　　求证： 平面 ．
　　证明：∵ ， 为 中点
　　∴ 即
　　又 ，
　　∴ ≌ ≌
　　∴ ．即 ， ，
　　∴ 平面 ．

［演练反馈］
1． 是 所在平面外一点， ， 平面 ，垂足为 ，则点 是 的____________心．
2．下列命题中正确的是（      ）
　　A． 　B．
　　C． D．
3．下列条件中，能使直线 的是（       ）
　　A． ， ， ，
　　B． ，
　　C． ，
　　D． ，
4．如图1，已知 是 所在平面外一点， 、 、 两两互相垂直， 是 的垂心，求证： 平面 ．

5．如图2， 为异面直线 、 的公垂线， 平面 ， 平面 ， ．求证： ．
6．图3，在空间四边形 中， ， ， 于 ， 于 ．求证： 平面 ．

7．课本P23练习1．（3），4．

［参考答案］
1．外   2．B  3．D
4．提示：先证 面 ，得 ，又 ，从而 面 ．∴   同理 ．
5．提示：过点 作 ， ，从而 ，则 垂直于直线 、 所确定的平面，又易证 ， ，∴ 也垂直于 、 所确定的平面．
6．证明：取 的中点 ，连结
　　∵ ，
　　∴ ，
　　故 平面
　　又 平面 ，则
　　又 ，
　　∴ 平面
　　又 平面 ，则
　　又 ，
　　∴ 平面 ．
7.1  （3）√
4．提示：利用线面垂直的性质定理与线面平行的判定定理证．
［总结提炼］
［学生回答，教师补充完善．］
　　1．什么叫点到平面的距离，直线到平面的距离？
　　2．直线和平面垂直的性质定理是什么？
　　3．怎么证明线面垂直？
布置作业：课本P28习题9.4  1．（3），6，7，8．

［参考答案］
1．（3）
6．利用勾股定理的逆定理，知旗杆垂直于地面内的两条相交直线，再由直线和平面垂直的判定定理推出的结论．
7．先证： ， 平面 ．
8．设 确定平面 ， ， ．
板书设计：

教学设计方案三

9.4 直线与平面垂直的判定和性质 第三课时

教学目标：
　　1．理解斜线、斜线段、斜足、射影等概念．
　　2．掌握射影定理．
　　3．理解斜线和平面所成的角是斜线和平面内一切直线所成的角中的最小角．
教具准备：三角板．
教学过程：
［设置情境］
　　直线与直线相交，我们可以用夹角来描述它们的相对位置关系．两直线异面时，我们用所成角及距离来描述它们的相对位置关系，那么直线与平面之间有夹角吗？怎样去定义直线和平面的夹角呢？
［探索研究］
1．斜线在平面内的射影
　　这部分内容涉及的概念较多，为了便于学生理解记忆，可以边讲画图，同时在图上注出有关概念的名称．
（1）点的射影
　　如图1，直线 ， ，点 是点 在 内的射影，线段 是点 到 的垂线段．

图1

（2）斜线与斜线段
　　如图2，直线 ， 不垂直于 ，直线 是 的一条斜线，点 是斜足，线段是 是点 到 的斜线段．

图2

（3）平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条（图3）．

图3

（4）斜线在平面内的射影
　　如图4， ，直线 是斜线 在 内的射影，线段 是斜线段 在 内的射影．

图4

（5）定理  从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
　　①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长．
　　②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长．
　　③垂线段比任何一条斜线段都短．
　　如图5， 是平面 的垂线段， 是平面 的斜线段， 分别是 在平面 内的射影．这时有：

图5

（Ⅰ）
　　　
（Ⅱ）
　　　
（Ⅲ）
　　注意：在应用这个定理时，平面外只能是一点才行．如：若 是平面 的斜线段，它们在平面 内的射影分别为 ，则若 ，不一定有 ．
2．直线和平面所成的角
　　（1）斜线和平面所成的角
　　平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
　　如图6， 是平面 的一条斜线， 点是斜足， 是 上任意一点， 是 的垂线，点 是垂足，所以直线 （记作 ）是 在 内的射影， （记作 ）是 与 所成的角．这时 与 所成的角的范围是： ．这是斜线与平面所成角的范围．
　　一条直线垂直于一个平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是 的角．
　　一般地，一条直线与一个平面所成的角的范围是 ．
（2）一个重要结论
　　斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角．
　　如图6，设直线 是 内与 不同的任意一条直线，过点 引 垂直于 ，垂足为 ．因为 ，所以 ，即 ．因经 ．
　　根据异面直线所成的角的定义，我们可以进一步得出，斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
　　证明：设 是平面 的一条斜线 是 在 内的射影，点 是斜足， 是 内任意一条与 不平行的直线．如图6．
　　若直线 过点 ，则由上述所证， 与 所成的角小于 与 所成的角 ．
　　若直线 不过点 ，则过点 作直线 ，使 ， 与 所成的角等于 与 所成的角，从而 与 所成的角小于角 ．
　　例题  如图7，已知 垂直于直角三角形 所在的平面， ， ， ， ，求直线 与平面 所成的角．
　　解：作 于 ，由 平面 得
　　∴
　　∴ 平面 ，连结 ，则 即为所求
　　∵ ， ，
　　∴ ， ，
　　在 中， ，在 中，
　　∴
　　∴ ．

［演练反馈］
1．平面的一条斜线和这个平面所成的角的范围是（      ）
　　A． 　　　　B．
　　C． 　　　　D．
2． 为 所在的平面外一点，且 ，则 在平面 上的射影 为 的（      ）
　　A．内心　　B．外心　　C．重心　　D．垂心
3． 的斜边 在平面 内，直角顶点 在 外， 在 上的射影为 （不在 上），则 是（      ）
　　A．直角三角形　　　　B．锐角三角形
　　C．钝角三角形　　　　D．锐角或钝角三角形
4．如图1，直角三角形 的斜边 在平面 内， 和 与 所成角分别为 、 ， 是斜边 上的高，求 与平面 所成的角．

5．如图2，正方体 中， 是 的中点，求 与平面 所成角的余弦值．
6．课本P25练习1．
7．课本P25练习2．

［参考答案］
1．C   2．B  3．C
4．提示：作 于点 ，连 、 、 ，则 ， 为所求，令 ，分别在直角三角形 中算出 ，在 中算出 ．
5．提示：取 中点 ，连 ，证明 面 ，在 中计算 ．
6．不一定 与 的位置关系三种都可能，即平行，相交，异面．
7．作 交 于 ， 即为所求， ．

［总结提炼］
要注意比较点的射影、斜线的射影、斜线段的射影之间的关系，要注意射影定理中垂线段最短是对平面外同一个点而言的，斜线和平面所成的角是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的，而且其中“经过斜足”可以去掉．

布置作业：
　　1．课本P29习题9.4  9．
　　2．课本P29习题9.4  10．
　　3．正方体 的棱长为 ，求 与平面 所成角的大小．

［参考答案］
　　1．提示：分三种情况证，即第一，两平行线平行平面，或在平面内；第二，两平行线垂直平面；第三，两平行线是平面的斜线．
　　2． ．
　　3．提示：连结 ， ，则 即为所求， ．

板书设计：

教学设计方案四

9.4 直线与平面垂直的判定和性质 第四课时

教学目标：掌握三垂线定理及其逆定理，并能运用它们解决简单问题．
教具准备：三角板．
教学过程：
［设置情境］
　　教师提问：平面的一条斜线在平面内是否一定有射影？如果有，有几条？怎么确定？
　　学生对前两个问题能正确回答，如何确定，他们不一定能回答．
　　教师与学生一起用三角板比划，得这样的结论：当三角板所在的一条直角边与桌面垂直，另一直角边与桌面重合时，平面内垂直于斜边的直线一定和三角板与桌面的交线垂直．
　　教师提问：从中我们能总结出什么规律吗？
［探索研究］
1．三垂线定理
　　三垂线定理   在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
　　已知：如图1， 分别是平面 的垂线、斜线， 是 在平面 内的射影，且 ， ．求证： ．
证明：  　．
　　三垂线定理实质上是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理，这两条直线可以是相交直线，也可以是异面直线．
　　由学生根据三垂线定理，叙述三垂线定理的逆定理，并且由他们完成证明过程．
2．三垂线定理的逆定理
　　三垂线定理的逆定理  在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．
　　三垂线定理及其逆定理可以合起来表述如下：
　　设 是平面 的一条斜线， 是 在 内的射影， 是 内的一条直线，则有
                        

　　这个定理及其逆定理是证明空间直线互相垂直时经常使用的，因此要求学生牢固掌握这两个命题的实质在于揭露了这样的规律：斜线和它在平面内的射影必定同时垂直于平面内的某条直线．也就是说，斜线和它在平面内的射影，在对平面内的一条直线是否有垂直关系上具有一致性．
3．例题分析
　　例1  求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在的直线上．
　　已知： 在平面 内，点 ， ， ， ，垂足分别是 ， （图2）．
　　求证： ．
　　证明：要证点 在 的平分线上，只需证明在平面 内的点 到这个角的两边距离相等．

　　

　　教师提问：在上面的证明过程中，哪一步应用了三垂线定理或其逆定理？
　　例2  如图3， 平面 ， 是平面 的两条斜线， 是 在平面 内的射影， ， ， ， ，求：点 到 的距离．
　　解：可由已知得 平面 ，作 于 ，由三垂线定理有 ．
　　∴ 就是 到 的距离
　　在 中，
　　在 中， ．

［演练反馈］
　　1．课本P27练习1．
　　2．课本P27练习2．
　　3．课本P28练习3．
　　4． 是 所在平面 外一点， 到 三边的距离相等， 于点 ， 在 内，则 是 的（      ）
　　A．外心        B．内心           C．垂心             D．重心
　　5．正方形 的边长为12， 平面 ， ，则 到对角线 的距离为（      ）
　　A．          B．
　　 C．            D．
　　6．如图4， 是平面 外一点， ， ，求证： ．
　　7．如图5，在正方体 中，
　　（1）求证： ；
　　（2）求证： 面 ．
　　8．如图6， 与平面 所成的角为 ， 在平面 内， 和 在 内的射影 所成的角为 ，设 ，求证： ．

［参考答案］
1．连结 ，由三垂线定理，得出 ．
2．连结 ， ，由三垂线定理知 ．
3．由 ， ，得 ，又 平面 ，∴ ，又 ∴ ， ∴ ．
4．B   5．D
6．提示：作 面 于点 ，连结 ，先证 、 ，得 为 的垂心，得 ，再用三垂线定理证得结论．
7．提示：（1）连 用三垂线定理．（2）分别用三垂线定理证明 、 ．
8．提示：作 于点 ，连 用三垂线定理得证 ．

［总结提炼］
　　用三垂线定理或其逆定理证明线线垂直要比用线面垂直来证明线线垂直简单，三垂线定理本身就是由线面垂直证得的．运用三垂线定理时要善于发现其结构，通常是先发现平面的垂线，进而发现斜线、射影、面内的直线，这些直线都是相对于同一个平面的，这个参考平面尤其重要．
布置作业：课本P29习题9.4  11，12．

［参考答案］
11．提示：可仿课本第26页例3证．
12．提示：连结 ，过 点在上底面内画 的垂线即得．
板书设计：