第四节 直线与平面垂直的判定和性质

典型例题

例1下列图形中，满足唯一性的是（       ）．
　　A．过直线外一点作与该直线垂直的直线
　　B．过直线外一点与该直线平行的平面
　　C．过平面外一点与平面平行的直线
　　D．过一点作已知平面的垂线
　　分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．
　　解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．
　　B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．
　　C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．
　　D．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点 、平面 ，过点 有两条直线 、 都垂直于 ，由于 、 为相交直线，不妨设 、 所确定的平面为 ， 与 的交线为 ，则必有 ， ，又由于 、 、 都在平面 内，这样在 内经过 点就有两条直线和直线 垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．
　　故选D．
　　说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．
　　例2 已知下列命题：
　　（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；
　　（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；
　　（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；
　　（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．
　　上述命题正确的是（       ）．
　　A．（1）、（2）　　B．（2）、（3）
　　C．（3）、（4）　　D．（2）、（4）
　　分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．
　　解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；
　　（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；
　　（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；
　　（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．
　　故选D．
　　说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如在正方体 中， 分别为棱 和 上的点， 为棱 上的点，且 ， ，求 ．
　　例3 如图，在正方体 中， 是 的中点， 是底面正方形 的中心，求证： 平面 ．
　　分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明 平面 ，只要在平面 内找两条相交直线与 垂直．
　　证明：连结 、 、 ，在△ 中，
　　∵ 分别是 和 的中点，
　　∴ ．
　　∵ 面 ，
　　∴ 为 在面 内的射影．
　　又∵ ，
　　∴ ．
　　同理可证， ．
　　又∵ ， 、 面 ，
　　∴ 平面 ．
　　∵ ，
　　∴ 平面 ．
　　另证：连结 ， ，设正方体 的棱长为 ，易证 ．
　　又∵ ，
　　∴ ．
　　在正方体 中易求出：
 ，
 ，
 ．
　　∵ ，
　　∴ ．
　　∵ ， 、 平面 ，
　　∴ 平面 ．
　　说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．
　　例4 如图，在△ 中， ， 平面 ，点 在 和 上的射影分别为 ，求证： ．
　　分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想．欲证 ，可证 面 ，为此须证 ，进而可转化为证明 平面 ，而已知 ，所以只要证 即可．由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直．
　　证明：∵ 面 ， 平面 ，
　　∴ ．
　　∵ ，即 ， ，
　　∴ 平面 ．
　　∵ 平面 ．
　　∴ ．
　　又∵ ， ，
　　∴ 平面 ．
　　∵ 平面 ，
　　∴ ，
　　又∵ ， ，
　　∴ 平面 ．
　　∵ 平面 ．
　　∴ ．
　　另证：由上面可证 平面 ．
　　∴ 为 在平面 内的射影．
　　∵ ，
　　∴ ．
　　说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直．立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的．本题若改为下题，想想如何证：已知 ⊙ 所在平面， 为⊙ 的直径， 为⊙ 上任意一点（ 与 不重合）．过点 作 的垂面交 、 于点 ，求证： ．
　　例5 如图， 为平面 的斜线， 为斜足， 垂直平面 于 点， 为平面 内的直线， ， ， ，求证： ．
　　分析：本题考查的是线面角的定义和计算．要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理．
　　证明：过 点作 垂直 于 点，连 ．
　　∵ ，
　　∴ 在平面 内射影为 ．
　　∵ ， ，
　　∴ ．
　　在 △ 中有：                     ①
　　在 △ 中有：                     ②
　　在 △ 中有：                      ③
　　由①、②、③可得：  ．
　　说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．若平面的斜线与平面所成角为 ，则斜线与平面内其它直线所成角 的范围为 ．
　　例6 如图，已知正方形 边长为4， 平面 ， ， 分别是 中点，求点 到平面 的距离
．
　　分析：此题是1991年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力．本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离．为此要寻找过点 与平面 平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等．
　　证明：连结 ， 和 分别交 于 ，连 ，作 于 ．
　　∵ 为正方形， 分别为 的中点，
　　∴ ， 为 中点．
　　∵ ， 平面 ，
　　∴ 平面 ．
　　∴ 与平面 的距离就是 点到平面 的距离．
　　∵ ，∴ ．
　　∵ 面 ，∴ ．
　　∵ ，
　　∴ 平面 ．
　　∵ 平面 ，
　　∴ ．
　　又∵ ， ，
　　∴ 平面 ．
　　即 长就是点 到平面 的距离．
　　∵正方形边长为4， ，
　　∴ ， ， ．
　　在 △ 中， ．
　　在 △ 中， ．
　　说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法．由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长．用此法的关键在于准确找到垂足位置．如本题可用下列证法：延长 交 的延长线于 ，连结 ，作 于 ，作 交 于 ，连结 ，再作 于 ，可得 平面 ， 长即为 点到平面 的距离．二是转移法．将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离．三是体积法．已知棱锥的体积和底面的面积．求顶点到底面的距离，可逆用体积公式．