第四节 直线与平面垂直的判定和性质

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公理法

　　选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”．
　　两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展．
1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点．
希尔伯特公理体系的主要思想包含：
　　（1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象．
　　（2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系．
　　（3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质．
希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点：
　　第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中．
　　第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出．
　　第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题．
　　欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系．
　　公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．
　　20世纪以来，由于公理化方法在研究几何基础方面所取得的成就，促使公理化方法渗透到数学的其他分支，诸如代数、泛函、拓朴等比较抽象的数学分支的研究．公理化方法对近代数学的发展所产生的巨大影响，已成为举世公认的事实，公理化方法早已超过数学理论范围，进入其他自然科学的领域．如本世纪40年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化，物理学家还将相对论表述为公理体系等等．当然，公理化方法若不与实验方法相结合，不与科学方法相结合，也不会更好地解决和发现问题．