2015年珠海二中高一数学竞赛试题

命题 高贵彩

一、填空题（本题满分72分，每小题6分。直接将答案写在横线上。）

1．已知集合
N，且
N
，则
．

2．函数
的值域为 ．

3．一个长方体的体对角线在其相邻的三个面上的投影长分别为
，则该长方体的表面积为 ．

4．新高一某班的50名学生中，参加数学竞赛辅导的有22人，参加物理竞赛辅导的有20人，参加化

学竞赛辅导的有19人，既参加数学又参加物理的有15人，既参加数学又参加化学的有12人，既

参加物理又参加化学的有10人，三科都没参加的有20人，则三科都参加的有_____________人．

5. 如图，在第一象限内，矩形
的三个顶点
、
、
分别在

函数
、
、
的图像上，且矩形的边分别

平行于两坐标轴．若点
的纵坐标为2，则点
的坐标为 ．

6. 已知关于
的函数
有唯一的零点，

若
，则
．

7．设
，如果非空集合
满足
的各元素加4后成为
的一个子集，
的各

元素减4后也成为
的一个子集，则
．

8．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．

设四棱锥F－DECB的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，

则V2＝________ V1.

9．已知函数
在区间
上恒正，

则实数
的取值范围是 ．

10．高一年级某班的部分同学参加环保公益活动---收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，已组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集个．若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有 个学生．

11．函数
满足：对于任意
、
，都有
，且
，

则
．

12. 已知
，
，且存在
，使
，

则实数
的取值范围是 ．

二、解答题（本大题满分48分，第13题15分，第14题15分，第15题18分）

13．在平面直角坐标系中，已知抛物线
与直线
．

（I）抛物线
的图像上是否存在定点，若存在，求出所有定点的坐标，若不存在，说明理由；

（II）求证：不论
如何取值，直线
上一定有三个点不会在抛物线
上；请写出此三点的坐标．

14．设
，其中
且
．若在区间
上
恒成立，

求
的取值范围．

15．已知函数

（I）当
时，求函数
在区间
上的最大值；

（II）对于给定的正数
，有一个最大的正数
，使
时，都有
．

试求出这个正数
，并求出它的取值范围．

2015年珠海二中高一数学竞赛试题参考答案

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设5分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分72分，每小题6分。直接将答案写在横线上。）

1．已知集合
N，且
N
，则
．1

2．函数
的值域为 ．

3．一个长方体的体对角线在其相邻的三个面上的投影长分别为
，则该长方体的表面积为 ．

4．新高一某班的50名学生中，参加数学竞赛辅导的有22人，参加物理竞赛辅导的有20人，参加化

学竞赛辅导的有19人，既参加数学又参加物理的有15人，既参加数学又参加化学的有12人，既

参加物理又参加化学的有10人，三科都没参加的有20人，则三科都参加的有_____________人．6

5. 如图，在第一象限内，矩形
的三个顶点
、
、
分别在

函数
、
、
的图像上，且矩形的边分别

平行于两坐标轴．若点
的纵坐标为2，则点
的坐标为 ．

6. 已知关于
的函数
有唯一的零点，

若
，则
．119

7．设
，如果非空集合
满足
的各元素加4后成为
的一个子集，
的各

元素减4后也成为
的一个子集，则
．

8．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．

设四棱锥F－DECB的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，

则V2＝________ V1.

9．已知函数
在区间
上恒正，

则实数
的取值范围是 ．

10．高一年级某班的部分同学参加环保公益活动---收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，已组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集个．若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有 个学生．12

11．函数
满足：对于任意
、
，都有
，且
，

则
．

12. 已知
，
，且存在
，使
，

则实数
的取值范围是 ．

二、解答题（本大题满分48分，第13题15分，第14题15分，第15题18分）

13．在平面直角坐标系中，已知抛物线
与直线
．

（I）抛物线
的图像上是否存在定点，若存在，求出所有定点的坐标，若不存在，说明理由；

（II）求证：不论
如何取值，直线
上一定有三个点不会在抛物线
上；请写出此三点的坐标．

（I）【解】由题设知：

当
，即
或
时，纵坐标
的值与
无关，分别为
与
；

所以抛物线
的图像有两个定点
与
．--------------------------------------5分

（II）【证】由（I）及由题设知：当
或
时，直线
上对应的纵坐标
的值分别为
与
；

又抛物线
的图像是一个二次函数的图像，由函数知
的每一个取值对应着唯一的
值，

故直线
上的点
与
不会在抛物线
上．---------------------------------------10分

由（I）知：直线
对应的方程为
，直线
与抛物线
只能有两个交点
与
；

由
得
知 直线
与直线
的交点为
不会在抛物线
上．

故直线
上一定有三个点不会在抛物线
上，它们是
、
、
．

------------------------------------------15分

14．设
，其中
且
．若在区间
上
恒成立，

求
的取值范围．

【解】由题设知：
得
，
．

由题意知：
，得
，于是有
，

故函数
在区间
上单调递增. ------------------------5分

（1）若
，则
在
上单调递减，得
．

即
，得
，故
或
．

由
知：
． ------------------------------------------10分

（2）若
，则
在
上单调递增，得
.

即
，得
，故
．

由
知无解．

综合（1）（2）知：
的取值范围为
．------------------------------------------15分

15．已知函数

（I）当
时，求函数
在区间
上的最大值；

（II）对于给定的正数
，有一个最大的正数
，使
时，都有
．试求出这个正数
，并求出它的取值范围．

【解】由题设知：

（I）当
时，由
知
在区间
为减函数，得
；

当
时，由
知
，得
；

当
时，由
知在区间
上
；

由上述知：
时，
---------------------------------6分

（II）由题设知：对于给定的正数
，当
时，均有
；

而
，即
时，
；-------------------9分

当
即
时，
为方程
，即
的较小根；

故
；由
知
为减函数，得
；

------------------------------13分

当
即
时，
为方程
，即
的

较大根；故
；由
知
为增函数，得
；

------------------------------17分

由上述知：
，
．

------------------------------18分