高二数学（下）复习讲义（1）

线面角与面面角

一、知识与方法要点：

1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。

2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。

3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。

两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

二、例题

例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点．

(1)求证：AC1⊥平面A1BD．

(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值．

解： (1)连AC，

∵C1C⊥平面ABCD， ∴C1C⊥BD．

又AC⊥BD， ∴AC1⊥BD．

同理AC1⊥A1B

∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD．

(2)设正方体的棱长为
，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在△D1AC1中，ME∥AC1，

∵AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD．

连结BE，则∠MBE为BM与平面A1BD成的角．在
中，
，

，∴
．

例2．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，

使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P．

（1）求证：面ABP⊥面ABC；

（2）求二面角C-BP-A的余弦值．

证明（1）? 由题设知AP＝CP＝BP．

∴点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心，

即D∈AB．∵PD⊥AB，PD
面ABP，

由面面垂直的判定定理知，面AB