广东实验中学2012—2013学年（下）高一级期末考试

数 学

本试卷共22小题，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、考号填写在答题卷上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。

第一部分 基础检测

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．直线
的倾斜角是( )

A．30° B．60° C．120° D．150°

2．若
，则下列不等式一定不成立的是（ ）

A．
B．

C．
D．

3．设
是等差数列，若
，则数列
前8项的和为( )．

A．56 B．64 C．80 D．128

4．不等式组
的解集是 （ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知△ABC中，
＝10，
， A＝45°，则B等于 　 ( ) 　

A．60° B．120° C．30° D．60°或120°

6．运行如右图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）

A．-2 B．3

C．4 D．8

7．已知点A（1，3）， B（3，1 ）， C（-1，0），则
的面积为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

8．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞)

C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

9．变量
满足约束条件
，则目标函数z=3x+y-3的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知直线l1: y=x·sinα和直线l2: y=2x+c, 则直线l1与l2 （ ） A．通过平移可以重合 B．不可能垂直

C．可能与x轴围成等腰直角三角形 D．通过绕l1上某点旋转可以重合

二．填空题（每题5分，共20分。其中14题（1）2分、（2）3分）

11．若关于x的不等式mx2－mx＋1＜0的解集不是空集，则m的取值范围是________．

12．已知b>0，直线b2x＋y＋1＝0与ax－(b2＋4)y＋2＝0互相垂直，则ab的最小值为________．

13．点P(
,4)到直线x－2y＋2＝0的距离等于2，且在不等式3x＋y＞3表示的平面区域内，则P点坐标为________．

14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,2)，C(－2，－1)

(1) 以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为______________；

(2)
内角B的角平分线所在直线的方程是______________．

三．解答题（每题10分，共30分）

15．(10分)

求过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离

为1的直线
的方程．

16．(10分)．

已知
.

(1)当不等式
的解集为
时, 求实数
的值;

(2)若对任意实数
,
恒成立, 求实数
的取值范围.

17．（10分）

如图，在
中，
，
，

(1)求
；

(2)记BC的中点为D，求中线AD的长．

第二部分 综合能力检测

18．（5分）点A(1,3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B (－2,1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是( )

A．
B.
C．
D.

19．（5分）设
是定义在
上恒不为零的函数，对任意实数
、
，都有
，若
，
（
），则数列
的前
项和
的取值范围是 （ ）

．

．

．

．

20．（12分）某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级籽棉2吨、二级籽棉1吨；生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨，二级籽棉2吨.每1吨甲种棉纱的利润为900元，每1吨乙种棉纱的利润为600元.工厂在生产这两种棉纱的计划中，要求消耗一级籽棉不超过250吨，二级籽棉不超过300吨.问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，能使利润总额最大？并求出利润总额的最大值.

21．（14分）已知函数

（1）若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围；

（2）解关于
的不等式
；

（3）若
，求
的最大值.

22．（14分）已知正项数列
中，
，点
在抛物线
上；数列
中，点
在过点（0， 1），以
为斜率的直线上。

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
， 问是否存在
，使
成立，若存在，求出
值；若不存在，说明理由；

（3）对任意正整数
，不等式
恒成立，求正数
的取值范围。

广东实验中学2012---2013学年高一下学期期末考数学试题

及评分标准

第一部分 基础检测

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．直线
的倾斜角是( B )

A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°

2．若
，则下列不等式一定不成立的是（ C ）

（A）
（B）

（C）
（D）

3．设
是等差数列，若
，则数列
前8项的和为( B )．

(A)56 (B)64 (C)80 (D)128

4．不等式组
的解集是 （ C ）

A .
B .
C .
D .

5.已知△ABC中，
＝10，
， A＝45°，则B等于 　 ( D ) 　

A . 60° B . 120° C . 30° D . 60°或120°

6. 运行如右图所示的程序框图，则输出S的值为（A）

(A) -2 (B) 3

(C) 4 (D) 8

7．已知点A（1，3）， B（3，1 ）， C（-1，0），则
的面积为（ A ）

A． 5 B. 6 C. 7 D. 8

8．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞)

C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

[答案]　D

[解析]　设等比数列的公比为x(x≠0)，则有

S3＝x＋1＋(x≠0)，

∵当x>0时，x＋≥2；x<0时，x＋≤－2，

∴S3＝x＋1＋的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D.

9．变量
满足约束条件
，则目标函数z=3x+y-3的取值范围是 （ C ）

A．
B．
C．
D．

10.已知直线l1: y=x·sinα和直线l2: y=2x+c, 则直线l1与l2 （ D ） A．通过平移可以重合 B．不可能垂直

C．可能与x轴围成等腰直角三角形 D．通过绕l1上某点旋转可以重合

二．填空题（每题5分，共20分）

11.若关于x的不等式mx2－mx＋1＜0的解集不是空集，则m的取值范围是________．

[答案]　(－∞，0)∪(4，＋∞)

12．已知b>0，直线b2x＋y＋1＝0与ax－(b2＋4)y＋2＝0互相垂直，则ab的最小值为________．

13．点P(
,4)到直线x－2y＋2＝0的距离等于2，且在不等式3x＋y＞3表示的平面区域内，则P点坐标为________．

解析：由题意知＝2，

得a＝16或a＝－4.

又P(a,4)在不等式3x＋y＞3表示的平面区域内，

∴a＝16，∴P(16,4)．

答案：(16,4)

14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,2)，C(－2，－1)

(1)以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为___________；（2分）

(2)
内角B的角平分线所在直线的方程是______________．（3分）

　(1)
； （2）

三.解答题（每题10分，共30分）

15．(本题满分10分)

求过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离

为1的直线
的方程．

15.解：由
解得

，
的交点为（1，2）……2分

显然，直线
满足条件； ……4分

另，设直线方程为
，即
，

依题意有：
，解得：
……8分

所求直线方程为
或
…….10分

（注：未考虑
扣2分）

16.(本题满分10分)．已知
.

(1)当不等式
的解集为
时, 求实数
的值;

(2)若对任意实数
,
恒成立, 求实数
的取值范围.

16.解：(Ⅰ)
即

∴

∴
…………………3分

∴
或
…………………5分

(Ⅱ)由
， 即

即
…………………8分

∴
恒成立∴
故实数
的取值范围为
…………………10分

17.（10分）如图，在
中，
，
，

(1)求
；

(2)记BC的中点为D，求中线AD的长．

17.解：（1）由
，C是三解形内角，得

----2分

----4分

---5分

（2）在
中，由正弦定理
-7分

，又在
中，
，

由余弦定理得，
………9

----10分

本题也可利用向量法。
注意
。

第二部分。综合能力检测

18．（5分）点A(1,3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B (－2,1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是( B )

A．
B.
C．
D.

19．（5分） 设
是定义在
上恒不为零的函数，对任意实数
、
，都有
，若
，
（
），则数列
的前
项和
的取值范围是 （ C）

.

.

.

.

. C 解析：
是定义在
上恒不为零的函数，对任意实数
、
，

都有
，
，
（
）

则数列
的前
项和的取值范围是
。

20．（12分）某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级籽棉2吨、二级籽棉1吨；生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨，二级籽棉2吨.每1吨甲种棉纱的利润为900元，每1吨乙种棉纱的利润为600元.工厂在生产这两种棉纱的计划中，要求消耗一级籽棉不超过250吨，二级籽棉不超过300吨.问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，能使利润总额最大？并求出利润总额的最大值.

20 解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x、y吨，利润总额为z，

则z＝900x＋600y ………2

且
…………4

作出以上不等式组所表示的平面区域（如图），

即可行域. …………6

作直线l：900x＋600y＝0，即3x＋2y＝0，

把直线l向右上方平移至过直线2x＋y＝250与

直线x＋2y＝300的交点位置M（
，
）， ………10

此时所求利润总额z＝900x＋600y取最大值130000元. ………12

21. （14分）已知函数

（1）若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围；

（2）解关于
的不等式
；

（3）若
，求
的最大值.

20. （1）令
，即
成立 1分

的最小值为0，当
时取得 4分

5分

（2）
，

令

6分

①


7分

②


8分

③

ⅰ


9分

ⅱ


10分

（3）令

则