2013高一数学暑假作业（六）

一、选择题

1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对解线，
（ ）

A．（2，4） B．（3，5） C．(-3,-5) D．(-2,-4)

2．已知向量
若λ为实数，
则λ=（ ）

A．
B．
C．1 D．2

3．在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若
( )

A．
B．
C．
D．

4．已知点O为
所在平面内一点,且
,则O一定是
的( )

A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心

5．已知下列命题:

(1)若

(2)若a
b=0则a=0或b=0;

(3)若不平行的两个非零向量a，b,满足
(a+b)
(a-b)=0;

(4)若a与b平行,则a
b=|a||b|;

(5)若a
b=b
c,则a=c;

(6)若a≠0,则对任一非零向量b,有a
b≠0.

其中真命题的个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

6.下列各式中不能化简为
的是( )

7.已知集合
均为全集
的子集，且
,
,则

(A){3} (B){4} (C){3,4} (D)

8.已知函数
为奇函数，且当
时，
，

则

(A)2 (B)1 (C)0 (D)-2

9.函数
的定义域为

(A)(-3，0] (B) (-3，1]

(C)
(D)

10．数列
是由正数组成的等比数列， 且公比不为1，则

与
的大小关系为

A．
>
B．
<

C．
=
D．与公比的值有关

11．设
是由正数组成的等比数列，公比
，且
，则
等于

A．
B．
C．
D．

12．当x∈［0,2］时，函数f(x)=ax2+4(a－1)x－3在x=2时取得最大值，则a的取值范围是

A．[－
,+∞) B．[0，+∞） C．[1, +∞) D．[
,+∞)

二、填空题

13.已知|a|=|b|=1, |a+b|=1,则|a-b|= .

14.(2010.浙江高考)已知平面向量α、β，|α|=1，|β|=2，α⊥（α―2β），则|2α+β|的值是 。

15．若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角是

16．平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,点P是MD的中点，若


。

17．不等式
的解集为
，那么
的值等于___________。

三、计算题

18.（1）已知
求证A,B，C三点共线；

（2）设向量
求当k为何值时，A,B,C三点共线？

19.（2011.大理检测）如图，已知
延长BA到C，使AB=AC，D是使
分成2：1的一个分点，DC和OA交于点E，设

（1）用a,b表示向量
；

（2）若
，求实数λ的值。

20.已知a=（cosα,sinα）,b=(cosβ,sinβ),且

（1）用k表示数量积a?b;

(2)求a?b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ。

21.已知两个非零向量a、b,夹角θ=120o，且（a-3b）⊥(7a+5b),问是否存在实数λ，满足（a-4b）⊥(λa-b)?

22.已知|a|=
,|b|=1,向量a与b的夹角为45o，求使向量（2a+λb）与（λa-3b）夹角为锐角时λ的取值范围。

2013高一数学暑假作业（六）参考答案

一、选择题

1—5 CBBCC 6—10 DADAA 11--12 BD

二、填空题

13.

14.

15.

16.

17．
；

三、计算题

18.解：

（1）证明：∵

∴

又∵
∴
。

（2）解：解法一：若A，B，C三点共线，则
则存在实数λ，使得

∵

∴（4-k,-7）=λ(10-k,k-12),

∴ 解得k=-2,或k=11.

解法二：若A，B，C三点共线，则

∵

∴（4-k）(k-12)+7(10-K,k-12),

∴ k2-9k-22=0,解得k=-2,或k=11.

19.解：

（1）∵A为ＢＣ的中点，∴
，
．

＝
.

设
，则

　　
．

∵
∴存在实数m,使得
，

即

即
．

∵a,b不共线且为非零向量，

∴　　　　　　　　　解得λ＝
．　

20.解(1) ∵
,

(2)
由函数单调性的定义证明,可知
在(0,1]上单调递减,在［１，＋
）上单调递增，故当k=1时，a?b取得最小值，即
．此时
．

21. 分析：根据两向量垂直数量积为零，转化条件，建立方程求解。

解：由（a-3b）⊥(7a+5b)得（a-3b）?(7a+5b)=0,即7a2-16a?b-15b2=0.

由（a-4b）⊥（λa-b），得（a-4b）?（λa-b）=0，

即λa2-（1+4λ）a?b+4b2=0.

又a?b=|a||b|cos120o

=-?|a||b|.

把③代入①得|a|=|b|，

再代入②得（λ+4+
）|a|2=0.

∵|a|>0，∴λ+4+
=0，即λ=-
.

故存在实数λ=-
，使（a-4b））⊥（λa-b）.

22. 分析：利用（2a+λb）?(λa-3b)>0解不等式，再去掉两向量共线时的λ值。

解：设向量（2a+λb)与(λa-3b）的夹角为θ。

∵两向量夹角为锐角，

∴

∴(2a+λb)?(λa-3b)>0,

即2λa2+(λ2-6)a?b-3λb2>0.

∵a2=|a|2=2,b2=|b|2=1,a?b=|a||b|cos45o=
,

∴4λ+λ2-6-3λ>0,

即λ2+λ-6>0，∴λ<-3或λ>2.

设2a+λb=k(λa-3b)=kλa-3kb,

∴
∴λ2=-6,则λ不存在，即向量（2a+λb）与（λa-3b）不共线.

∴向量（2a+λb）与（λa-3b）夹角为锐角时λ<-3或λ>2.

提示：在两向量的夹角为锐角时，可先求a?b>0，再排除两向量共线同时的情形；若两向量的夹角为钝角，可先求a?b<0，同样要注意再排除两向量共线反向时的情形。